"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, измерять, сравнивать величины и описывать результаты вычислений. Натуральные числа расширяются до целых, рациональных и действительных, чтобы можно было работать с нулём, долгами, дробями и корнями. На числовой прямой числа сравнивают по положению, а в выражениях соблюдают порядок действий. Понимание этих правил делает вычисления точными и проверяемыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Обычно их обозначают N и не включают в это множество ноль, хотя в некоторых традициях используют N₀, куда ноль входит. Натуральные числа нужны для подсчёта предметов и указания их количества.
Целые числа включают натуральные числа, ноль и противоположные им числа: −1, −2, −3 и так далее. Их обозначают Z; на числовой прямой они расположены по обе стороны от нуля. Целые числа позволяют записывать, например, долг, убыток или температуру ниже нуля.
Рациональное число можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. К рациональным относятся обычные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Это множество нужно, чтобы точно описывать части единицы и результаты деления.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби m/n: их десятичная запись бесконечна и непериодична, например √2. Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Они описывают все точки числовой прямой и применяются в измерениях.
Числовые множества расширяются постепенно. Натуральных чисел недостаточно, когда нужно вычесть большее число из меньшего, поэтому появляются отрицательные и ноль — целые числа. Для деления и записи частей величины нужны рациональные числа, а для точных значений вроде √2 — иррациональные; вместе они образуют действительные числа.
Числовая, или координатная, прямая помогает изображать и сравнивать числа. На ней выбирают начало отсчёта, обычно точку 0, положительное направление и единичный отрезок — расстояние от 0 до 1. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число; противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны.
При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют этот знак. При разных знаках из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем. При умножении и делении знак определяется иначе: одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус; модули при этом перемножают или делят.
Обыкновенная дробь, десятичная дробь и процент могут обозначать одну величину. Чтобы перейти от дроби к десятичной записи, делят числитель на знаменатель, а для перехода к процентам умножают число на 100%; например, 1/4 = 0,25 = 25%. Обратное преобразование помогает выбрать удобную форму записи в задаче.
В числовом выражении действия выполняют не просто слева направо. Сначала считают в скобках, затем степени, потом умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание. Промежуточный результат полезно проверять по знаку, приблизительной величине и соответствию условию.
| Множество чисел | Обозначение | Какие числа включает | Примеры | Связь с другими множествами |
|---|---|---|---|---|
| Натуральные числа | N | 1, 2, 3, … | 4, 17, 100 | Подмножество целых, рациональных и действительных |
| Целые числа | Z | Натуральные, 0 и противоположные натуральные | −8, 0, 6 | Подмножество рациональных и действительных |
| Рациональные числа | Q | Числа вида m/n, n ≠ 0 | ½, −3, 0,75 | Включают все целые; являются частью действительных |
| Иррациональные числа | — | Числа, не представимые дробью m/n | √2, π | Не являются рациональными; входят в действительные |
| Действительные числа | R | Рациональные и иррациональные числа | −2, ⅔, √5 | Объединяют все числа, изображаемые на прямой |
Таблица показывает вложение множеств: каждое натуральное число является целым, рациональным и действительным. Чтобы определить принадлежность числа, сначала проверьте, можно ли записать его в виде дроби, а затем учитывайте знак и наличие корня или другой непериодической записи. Один и тот же объект может принадлежать нескольким множествам.
Нужно расположить числа −3, 0, 2,5, −1/2 и √2 по возрастанию. Сначала сравним отрицательные и положительные числа, затем оценим √2: это примерно 1,41. После порядка чисел укажем множества, к которым относится каждое значение.
Ответ: −3 и 0 — целые, рациональные и действительные числа; −1/2 и 2,5 — рациональные и действительные; √2 — иррациональное и действительное число. Число −3 также является целым, но не натуральным.
Вычислим выражение −18 : 3 + 2 · (5 − 8)². Скобки и степень имеют приоритет перед умножением и делением, поэтому начинать со сложения нельзя. Каждый шаг сопровождаем проверкой знака.
Ответ: 12. Положительный результат закономерен: положительное слагаемое 18 по модулю больше отрицательного слагаемого −6.
После повышения на 20% товар стоит 1440 рублей. Новая цена составляет 100% + 20% = 120% первоначальной, то есть 1,2 первоначальной цены. Поэтому для обратного вычисления нужно разделить известную цену на 1,2.
Ответ: первоначальная цена равнялась 1200 рублям. Нельзя вычитать 20% из 1440, потому что процент повышения считался от старой, а не от новой цены.
Считать ноль натуральным числом без оговорки — ошибка из-за различий в традициях записи. В одном курсе N начинается с 1, а для множества с нулём используют N₀. Проверьте обозначение и определение в начале темы.
Сравнивать отрицательные числа по модулям напрямую неверно. Из-за большего модуля число −8 расположено левее и меньше числа −3. Представьте оба числа на прямой: левее всегда меньше.
Нельзя применять одно правило знаков к сложению и умножению. При сложении разных знаков сравнивают модули, а при умножении и делении одинаковые знаки дают плюс. Перед действием определите, к какому типу оно относится.
Выполнение действий слева направо часто меняет ответ. Сначала раскройте скобки, затем посчитайте степени, умножение и деление, и только потом сложение и вычитание. Полезно записывать отдельный промежуточный результат после каждого уровня действий.
До начала темы нужны таблицы сложения и умножения, свойства арифметических действий, навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, а также координатная прямая. Эти знания позволяют сосредоточиться на свойствах числовых множеств и знаках.
Дальше правила понадобятся при изучении уравнений, степеней, корней, процентов, функций и преобразовании алгебраических выражений. В жизни вычисления встречаются при работе с деньгами, измерениями, масштабом, скоростью, долями и процентами.
Относится ли ноль к натуральным числам?
В школьной математике часто принимают N = {1, 2, 3, …}, поэтому ноль не считают натуральным числом. Иногда используют обозначение N₀ и включают в него ноль, поэтому нужно следовать определению, принятому в учебнике.
Почему −5 меньше −2, хотя его модуль больше?
На числовой прямой −5 находится левее −2, а левее расположены меньшие числа. Модуль показывает расстояние до нуля, но сам по себе не определяет порядок отрицательных чисел.
Как определить, является ли десятичная дробь рациональным числом?
Конечная десятичная дробь всегда рациональна, потому что её можно представить обычной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Бесконечная периодическая дробь тоже рациональна, а бесконечная непериодическая — иррациональна.
Почему при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число?
Знаки при умножении подчиняются правилу: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Это согласуется с распределительным законом и позволяет сохранять обычные свойства умножения.
Как не перепутать порядок действий в сложном числовом выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление слева направо, а последними — сложение и вычитание. Полезно отмечать выполненные действия и проверять промежуточные результаты.
Числа и вычисления
