"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа нужны, чтобы считать, измерять, сравнивать величины и описывать результаты действий. Натуральные числа расширяются до целых, а затем до рациональных, когда появляются ноль, долги, температуры ниже нуля и части целого. В теме важно различать виды чисел, понимать записи обыкновенной и десятичной дробью, соблюдать порядок действий и использовать свойства сложения, умножения, вычитания и деления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. С их помощью можно указать количество книг, шагов или учеников. В школьном соглашении ноль обычно не считают натуральным числом.
Целое число — это натуральное число, ноль или число, противоположное натуральному: −1, −2, −3 и так далее. Отрицательные числа нужны, чтобы обозначать долг, убыток или температуру ниже нуля. Вместе целые числа образуют ряд без дробных частей.
Рациональное число можно представить в виде дроби a/b, где a — целое число, а b — натуральное число и b ≠ 0. Например, −3/5, 7/2 и 4 являются рациональными числами. Такое представление позволяет работать с частями величины и результатами деления.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 8 · 3 − 5 — числовое выражение, а его значение равно 19. Чтобы получить значение, нужно выполнить действия в установленном порядке.
Сначала людям хватало натуральных чисел для счёта предметов, но ими нельзя было записать отсутствие предметов или результат вычитания большего числа из меньшего. Поэтому добавили ноль и отрицательные числа, получив целые числа. Когда понадобилось делить целое на части, появились рациональные числа, например 3/4 или −7/2.
Обыкновенная дробь — это запись деления числителя на знаменатель. Если деление заканчивается, получается конечная десятичная дробь: 1/4 = 0,25. Если цифры после запятой повторяются, получается периодическая дробь: 1/3 = 0,333…; обе записи обозначают одно рациональное число.
Сложение объединяет величины, а вычитание показывает, сколько осталось или насколько одно число отличается от другого. Вычитание можно проверить сложением: если a − b = c, то a = b + c. Умножение заменяет многократное сложение одинаковых слагаемых, а деление показывает, сколько раз делитель содержится в делимом; поэтому a : b = c означает a = b · c при b ≠ 0.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначное значение. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после этого сложение и вычитание слева направо. Например, в 2 + 3 · 4 сначала находят произведение, поэтому результат равен 14, а не 20.
Свойства действий позволяют заменять длинную запись более удобной. Переместительное свойство сложения и умножения помогает менять местами слагаемые и множители, а сочетательное — объединять их в удобные группы. Распределительное свойство помогает раскрывать скобки: a · (b + c) = a · b + a · c; результат также можно проверить обратным действием или прикидкой.
| Вид чисел | Примеры | Способы записи | Что важно учитывать |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | 1, 2, 15 | Целая запись без знака «−» | Ноль может не входить в множество по соглашению учебника |
| Целые числа | −4, 0, 7 | Целая запись со знаком или без него | Включают отрицательные числа и ноль |
| Рациональные числа | −2/3, 5, 1,25 | Дробь a/b, конечная или периодическая десятичная дробь | Знаменатель дроби не равен нулю |
| Обыкновенная дробь | 3/4, −7/2 | Числитель над чертой и знаменатель под ней | Знаменатель показывает число равных долей |
| Десятичная дробь | 0,75; 2,5 | Целая часть и цифры после запятой | Может быть конечной или периодической |
В таблице можно найти не только примеры, но и связь между множествами и формами записи. Натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные, потому что, например, 5 = 5/1. При переводе дроби в десятичную запись проверяйте, не потерялся ли знак и совпадает ли значение.
Вычитание выполняется после сложения, так как действия одного приоритета идут слева направо. Проверка должна восстановить уменьшаемое сложением разности и вычитаемого.
Ответ: 56.
Чтобы сложить числа, удобно представить их в одной форме. Десятичную дробь 0,5 заменим дробью 1/2, а затем приведём дроби к знаменателю 4.
Ответ: 5/4, или 1,25.
Сначала вычисляем разность в скобках, затем умножение на 6, и только потом вычитание из 2,4. Хотя запись содержит десятичные и обыкновенные дроби, их можно привести к общему виду.
Ответ: 1,6.
Ноль и натуральные числа. Ошибка возникает, когда ноль автоматически включают в натуральные числа. Сверьте определение с учебником: часто ряд начинается с 1. Знак числа и знак действия. В записи −3 − 2 первое «−» относится к числу, а второе обозначает вычитание; полезно проговаривать запись словами.
Сложение дробей. Нельзя складывать знаменатели: 1/3 + 1/3 = 2/3, а не 2/6. Сначала проверьте, одинаковы ли знаменатели, и при необходимости приведите дроби к общему знаменателю. Порядок действий. Решение слева направо без учёта скобок и приоритета даёт неверный результат. Подчеркните скобки, затем выполните умножение и деление, а после них сложение и вычитание.
Для этой темы нужны навыки счёта, знание разрядного состава числа и таблицы умножения: они ускоряют устные и письменные вычисления. Понимание долей, обыкновенных дробей и десятичной записи помогает переходить от одной формы числа к другой. Эти знания понадобятся при решении уравнений, задач на проценты и пропорции, а также при изучении отрицательных чисел.
Входит ли ноль в множество натуральных чисел?
Это зависит от принятого соглашения. В школьной математике натуральными обычно называют числа 1, 2, 3, …, поэтому ноль в них не входит; всегда проверяйте определение в учебнике.
Чем целые числа отличаются от натуральных?
Целые числа включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Натуральные числа используют главным образом для счёта, а целые позволяют описывать, например, долг или температуру ниже нуля.
Почему обыкновенную дробь можно записать десятичной?
Обыкновенная дробь показывает деление числителя на знаменатель, поэтому её можно преобразовать в десятичную запись. Конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь обозначает то же рациональное число.
Можно ли делить на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Не существует такого числа, которое при умножении на 0 дало бы ненулевое делимое.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание слева направо. Если скобок нет, умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Числа и вычисления
