"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Сочетательное свойство сложения позволяет менять группировку слагаемых, не изменяя их порядок и значение суммы. Благодаря этому выражение из трёх и более чисел можно считать удобнее: сначала объединять слагаемые, которые дают круглое или другое простое число. Главное правило записывают так: (a + b) + c = a + (b + c).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором несколько чисел объединяют и находят их сумму. Например, при записи 4 + 3 к четырём прибавляют три. Это определение помогает понимать, что знак «+» обозначает объединение величин, а не отдельное число.
Слагаемые — числа, которые складывают; в выражении a + b + c это a, b и c. Каждое число в такой записи вносит свой вклад в общий результат. Термин нужен, чтобы точно говорить, какие числа можно сгруппировать или переставить.
Сумма — результат сложения, а также выражение, записанное с помощью знака «+». В записи 7 + 5 сумма — это и выражение 7 + 5, и полученное число 12. По смыслу предложения можно понять, идёт ли речь о записи или о результате.
Сочетательное свойство сложения — свойство, по которому при сложении трёх и более слагаемых можно менять их группировку, не меняя порядок и значение суммы. Например, первые два слагаемых можно объединить сначала, а можно сначала сложить второе и третье. Это свойство позволяет выбирать удобный способ вычисления.
Рассмотрим три числа a, b и c. В записи (a + b) + c сначала находят сумму первых двух слагаемых, а затем прибавляют третье. В записи a + (b + c) сначала складывают два последних, после чего прибавляют первое. Оба способа объединяют одни и те же числа, поэтому дают одно значение: (a + b) + c = a + (b + c).
Скобки показывают, какие слагаемые складывают первыми. Они не меняют сами числа и знаки между ними, а только выделяют первый шаг вычисления. Сочетательное свойство разрешает переносить скобки внутри суммы без изменения порядка чисел. Поэтому запись становится другой, но набор слагаемых остаётся прежним.
Например, (6 + 4) + 9 = 10 + 9 = 19. Если сгруппировать числа иначе, получим 6 + (4 + 9) = 6 + 13 = 19. Результат одинаков, потому что в обоих случаях складываются 6, 4 и 9, меняется только очередность промежуточного действия.
Свойство особенно полезно, когда некоторые слагаемые образуют круглое число. В выражении 36 + 48 + 64 удобно сначала соединить 36 и 64: получится 100, затем легко прибавить 48. Такой выбор группировки сокращает вычисления, но не изменяет исходную сумму.
Сочетательное свойство нельзя путать с переместительным. При сочетательном свойстве порядок слагаемых остаётся прежним, а меняются скобки: (a + b) + c превращается в a + (b + c). Переместительное свойство меняет местами сами слагаемые, например a + b = b + a. В длинных выражениях оба свойства часто используют вместе.
| Запись | Какие слагаемые складывают первыми | Результат |
|---|---|---|
| (a + b) + c | a и b | Сначала находят a + b, затем прибавляют c |
| a + (b + c) | b и c | Сначала находят b + c, затем прибавляют a |
| Равенство двух выражений | Сравнивают две группировки | (a + b) + c = a + (b + c) |
| Числовой пример с разной группировкой | 6 и 4 или 4 и 9 | (6 + 4) + 9 = 6 + (4 + 9) = 19 |
В первой строке таблицы видно, что скобки объединяют первые два слагаемых. Во второй строке первыми складывают два последних слагаемых. Остальные строки показывают общий результат свойства и его применение к числам.
При чтении выражения сначала посмотрите на скобки и выполните указанное ими действие. Затем сравните, сохранились ли все слагаемые и их порядок. Если да, перегруппировка выполнена по сочетательному свойству.
Вычислим (18 + 7) + 13 и 18 + (7 + 13). Нужно сравнить не только записи, но и получившиеся значения. Так мы проверим сочетательное свойство на конкретных числах.
Ответ: оба выражения равны 38. Группировка изменилась, но порядок чисел 18, 7, 13 и значение суммы сохранились.
Вычислим 36 + 48 + 64, выбирая удобный порядок действий. Скобки в исходной записи не поставлены, поэтому можно выбрать, какие слагаемые объединить первыми. Числа 36 и 64 удобны тем, что их сумма равна круглому числу.
Ответ: 148. Сначала полученное круглое число сделало вычисление проще, а исходный порядок слагаемых при этом не изменился.
Найдём значение выражения 125 + 38 + 75 + 62. Здесь выгодно составить две пары с удобными суммами: 125 и 75, а также 38 и 62. Для перестановки чисел понадобится переместительное свойство, а для объединения выбранных пар — сочетательное.
Ответ: 300. В решении перестановка помогла поставить нужные числа рядом, а группировка позволила сначала получить 200 и 100.
Ошибка: считать, что сочетательное свойство разрешает менять порядок слагаемых. Так происходит, потому что ученик смешивает два похожих правила. Проверьте себя: если числа поменялись местами, была применена переместительная, а не только сочетательная свойство.
Ошибка: при переносе скобок изменить знак слагаемого или потерять число. Это случается, когда воспринимают скобки как знак действия, а не как указание на группировку. Перечитайте выражение и убедитесь, что все слагаемые и их знаки остались прежними.
Ошибка: считать скобки обязательными всегда. Скобки нужны, чтобы явно показать выбранную группировку, но при последовательном сложении результат не зависит от того, какие слагаемые считать первыми. Для проверки можно поставить скобки двумя способами и сравнить ответы.
Ошибка: неверно объединить числа и учесть одно слагаемое дважды или не учесть его совсем. Такая проблема появляется при длинной записи и поспешной перестановке. Отметьте каждое исходное слагаемое и после преобразования пересчитайте их количество.
До изучения свойства нужно уметь складывать числа и различать слагаемые и сумму. Без этого трудно понять, какие части выражения объединяются первыми. Начните с проверки простых примеров на сложение.
Сочетательное свойство часто используют вместе с переместительным. Переместительное свойство помогает поставить удобные слагаемые рядом, а сочетательное — объединить их в группы. Вместе они упрощают вычисления и преобразование выражений.
Навык пригодится при сложении рациональных чисел и работе с выражениями, содержащими несколько слагаемых. Он помогает быстро выполнять устные вычисления и проверять преобразования. Та же идея применяется при действиях с положительными и отрицательными числами.
Что показывает сочетательное свойство сложения?
Оно показывает, что при сложении трёх слагаемых можно по-разному расставить скобки. Значение суммы при этом не изменится: (a + b) + c = a + (b + c).
Можно ли при перегруппировке слагаемых менять их порядок?
Нет, сочетательное свойство само по себе меняет только группировку слагаемых. Их порядок сохраняется; для перестановки используют переместительное свойство.
Чем сочетательное свойство отличается от переместительного?
Сочетательное свойство показывает, как изменить порядок выполнения сложения с помощью скобок. Переместительное свойство разрешает менять местами сами слагаемые: a + b = b + a.
Зачем нужны скобки в сумме?
Скобки показывают, какие слагаемые складывают первыми. В сумме их можно расставлять по-разному, если сохранять порядок слагаемых и не менять знаки.
Как сочетательное свойство помогает считать быстрее?
Оно позволяет сначала объединить удобные слагаемые. Например, в выражении 36 + 48 + 64 можно сгруппировать 36 и 64, получить 100, а затем прибавить 48.
Сочетательное свойство сложения
