1.17. Сочетательное свойство сложения

Определения и обозначения

Слагаемое — число, которое складывают с другим числом; в выражении a + b + c каждое из чисел a, b и c является слагаемым. Например, в записи 4 + 6 + 2 слагаемые — 4, 6 и 2. Это название помогает точно говорить о каждом числе, входящем в сложение.

Сумма — результат сложения; в выражении a + b + c суммой также называют всё выражение. Если сложить 4, 6 и 2, результатом будет 12, а запись 4 + 6 + 2 тоже можно назвать суммой. Различать эти значения полезно, чтобы понимать, говорим ли мы о записи или о полученном числе.

Сочетательное свойство сложения — свойство, по которому при сложении трёх чисел можно менять группировку слагаемых, не меняя их порядок и значение суммы. Например, в выражении с числами 4, 6 и 2 можно сначала сложить 4 и 6 или сначала 6 и 2. Это позволяет выбирать удобный ход вычислений, не изменяя ответ.

Как это устроено

При сложении трёх чисел можно начать с первых двух: (a + b) + c. Скобки показывают, что сначала нужно найти сумму a и b, а затем прибавить c. Такая запись соответствует обычному выполнению действий в выражении со скобками. Например, (3 + 7) + 5 сначала превращается в 10 + 5.

Можно начать и со второго и третьего числа: a + (b + c). Теперь сначала вычисляется сумма b и c, после чего к ней прибавляется a. Итог не меняется, потому что все три числа по-прежнему складываются вместе; меняется лишь промежуточная сумма. Например, и 3 + (7 + 5), и (3 + 7) + 5 дают 15.

Оба способа записывают равенством (a + b) + c = a + (b + c). Знак равенства здесь сообщает, что выражения слева и справа имеют одинаковое значение. Скобки нужны, чтобы указать, какую пару слагаемых вычисляют первой. Равенство не означает, что скобки меняют сами числа или их порядок.

Свойство помогает подобрать группировку, с которой легче считать. Например, в выражении 18 + 32 + 7 удобно сначала сложить 18 и 32: их сумма равна круглому числу 50. Тогда остаётся простое действие 50 + 7. Если сгруппировать 32 и 7, промежуточный результат будет менее удобным для такого вычисления.

В сумме из четырёх и более слагаемых группировку можно менять поэтапно, применяя свойство к соседним частям выражения. Например, ((a + b) + c) + d можно записать как (a + b) + (c + d), не меняя последовательность букв. Каждое слагаемое должно остаться на месте в исходном порядке. Если для удобной суммы нужно поставить числа из разных частей рядом, дополнительно применяют переместительное свойство.

Разные способы группировки слагаемых

Сначала сравни две записи в строке: числа в них идут в одном и том же порядке, отличаются только скобки. Затем вычисли сумму любым способом — значение в последнем столбце должно совпасть. Так можно проверить, что поменялась группировка, а не сама сумма.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (6 + 4) + 7 и 6 + (4 + 7). Нужно отдельно посчитать обе записи и сравнить результаты. В первой скобки объединяют первые два числа, а во второй — два последних. Равные ответы покажут, что значение суммы не зависит от группировки.

1. Вычислим сумму в первых скобках: 6 + 4 = 10.
2. Прибавим оставшееся число: (6 + 4) + 7 = 10 + 7 = 17.
3. Во второй записи сначала найдём 4 + 7 = 11, затем 6 + 11 = 17.

Ответ: оба выражения равны 17. Скобки изменили порядок выполнения действий, но не результат сложения.

Задача 2. Вычислите удобным способом 18 + 32 + 7. Посмотрим, какие два числа дают наиболее удобную промежуточную сумму. Здесь 18 и 32 в сумме дают 50, поэтому их выгодно объединить первыми. Такой выбор упрощает оставшееся действие.

1. Сгруппируем первые два слагаемых: (18 + 32) + 7.
2. Сложим их: 18 + 32 = 50.
3. Прибавим последнее слагаемое: 50 + 7 = 57.

Ответ: 57. Здесь достаточно сочетательного свойства, потому что удобные слагаемые уже стоят рядом и порядок чисел не менялся.

Задача 3. Вычислите удобным способом 125 + 38 + 75 + 62. Удобные пары здесь не соседние: 125 и 75 дают 200, а 38 и 62 дают 100. Чтобы собрать их вместе, сначала переставим слагаемые, а затем сгруппируем пары. Перестановка использует переместительное свойство, а объединение в группы — сочетательное.

1. Переставим слагаемые так, чтобы удобные пары оказались рядом: 125 + 75 + 38 + 62.
2. Сгруппируем пары: (125 + 75) + (38 + 62).
3. Вычислим суммы в скобках: 200 + 100.
4. Сложим полученные числа: 200 + 100 = 300.

Ответ: 300. Проверка: исходные четыре слагаемых все сохранены; пары сложены в более удобном порядке.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что сочетательное свойство разрешает менять порядок слагаемых. Обычно это происходит потому, что при удобных вычислениях мы действительно можем увидеть числа в другом порядке. Но за такую перестановку отвечает переместительное свойство, а сочетательное меняет только группировку. Проверь себя: если числа поменялись местами, не объясняй это одним лишь сочетательным свойством.

Иногда запись (a + b) + c = a + (b + c) принимают за равенство с разными результатами, будто скобки меняют ответ. Скобки действительно задают, какое действие выполнить сначала, поэтому промежуточные суммы могут отличаться. Но в итоге складываются те же числа, и сумма равна. Для проверки вычисли обе части на конкретном примере.

При переписывании длинной суммы легко пропустить слагаемое или случайно повторить его. Это случается, если сосредоточиться на скобках и не сверить все числа. После перегруппировки сравни исходную запись с новой: каждый элемент должен встретиться столько же раз. Если какой-либо слагаемый исчез или появился второй раз, запись неверна.

Нельзя без проверки применять это правило к вычитанию, например считать, что (a − b) − c равно a − (b − c). Ошибка возникает из-за сходства записей со скобками: кажется, что группировку всегда можно менять одинаково. Но вычитание не является сложением трёх слагаемых, и такая перегруппировка может изменить результат. Подставь числа: (10 − 3) − 2 = 5, а 10 − (3 − 2) = 9.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужно знать названия компонентов сложения и понимать порядок действий в скобках. Сначала выполняют действие внутри скобок, поэтому запись группировки можно правильно вычислить. Переместительное свойство позволяет менять порядок слагаемых, а сочетательное — их группировку. Вместе они помогают выбирать удобный способ сложения.

Сочетательное свойство пригодится при устных и письменных вычислениях, когда нужно упростить промежуточные действия. Оно также используется при преобразовании выражений с несколькими слагаемыми. В таких задачах следи, чтобы при изменении группировки сохранялись все числа. Так вычисления становятся короче, а запись остаётся верной.

Что запомнить

• Сочетательное свойство относится к сложению.
• (a + b) + c = a + (b + c).
• Скобки показывают, какие слагаемые складывают сначала.
• При перегруппировке порядок слагаемых не меняется.
• Свойство позволяет выбирать более удобный порядок вычислений.
• При перегруппировке нельзя терять или добавлять слагаемые.