"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Сочетательное свойство сложения позволяет по-разному группировать слагаемые, не меняя значения суммы. Благодаря ему можно сначала сложить те числа, которые дают круглое число, и быстрее вычислить выражение. Например, вместо (18 + 7) + 3 удобно записать 18 + (7 + 3). Порядок слагаемых при этом остаётся прежним: чтобы менять его, используют переместительное свойство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Слагаемое — это число, которое участвует в сложении. Например, в записи 6 + 4 числа 6 и 4 являются слагаемыми. Понимание этого слова помогает точно говорить о числах, которые можно объединять в группы.
Сумма — результат сложения, а также запись, в которой числа соединены знаком «+». В примере 6 + 4 сумма равна 10. Это понятие нужно, чтобы различать сами слагаемые и итог вычисления.
Сочетательное свойство сложения позволяет менять группировку слагаемых, не меняя их порядок и значение суммы. Например, можно сначала сложить первые два слагаемых, а можно — второе и третье. Свойство помогает выбирать удобный путь вычисления, не меняя исходных чисел.
Скобки показывают, какие слагаемые объединены в группу и какие из них складывают первыми. Сочетательное свойство записывают так: (a + b) + c = a + (b + c). Буквы a, b и c обозначают любые числа, поэтому правило подходит для разных сумм из трёх слагаемых.
Рассмотрим три числа: (2 + 5) + 3 и 2 + (5 + 3). В первой записи сначала складывают 2 и 5, получая 7, а затем прибавляют 3 и получают 10. Во второй сначала складывают 5 и 3, получая 8, а затем прибавляют 2; результат тоже равен 10, потому что состав суммы не изменился.
Представь, что в одной коробке лежат 2 карандаша, во второй — 5, а в третьей — 3. Чтобы узнать общее количество, можно сначала объединить карандаши из первой и второй коробок, а потом добавить содержимое третьей. Можно начать с двух последних коробок: предметы те же, поэтому итоговое количество не зависит от того, какие две группы посчитали первыми.
Свойство особенно полезно, когда некоторые слагаемые легко сложить в круглое число. Например, в выражении 18 + 7 + 3 удобно сначала объединить 7 и 3: их сумма равна 10. Тогда вычисление 18 + (7 + 3) проще, чем последовательное сложение, потому что прибавить 10 к 18 легко.
Если в сумме несколько слагаемых, скобки можно убирать или расставлять, сохраняя их порядок. Например, ((a + b) + c) + d можно записать как a + (b + (c + d)), поскольку меняется только то, какие числа складывают первыми. При снятии скобок в сумме не меняются ни сами слагаемые, ни знаки «+».
Сочетательное свойство не позволяет переставлять слагаемые: в его записи a, b, c идут в том же порядке до и после изменения скобок. Если для удобства нужно поставить числа рядом, используют переместительное свойство, которое разрешает менять их местами. Разделяй эти правила: сначала обоснуй перестановку, если она нужна, а затем измени группировку.
В таблице показано, какую роль играют скобки в двух равных записях. Сначала найди, какие слагаемые объединены в каждой записи, затем сравни вывод в последнем столбце. Так легче увидеть, что способ группировки меняется, а значение суммы — нет.
| Запись | Группировка | Что можно заключить |
|---|---|---|
| (a + b) + c | Сначала складывают a и b | Сумма равна a + (b + c) |
| a + (b + c) | Сначала складывают b и c | Значение суммы не меняется |
По записи сначала нужно сложить 18 и 7, но можно выбрать более удобную группировку. Числа 7 и 3 при сложении дают круглое число 10. Поэтому применим сочетательное свойство, не меняя порядка слагаемых.
Ответ: 28.
Здесь числа 125 и 75 удобно сложить первыми: их сумма равна 200. Но в исходной записи они стоят не рядом, поэтому одного сочетательного свойства недостаточно. Сначала поменяем порядок слагаемых по переместительному свойству, а потом сгруппируем удобную пару.
Ответ: 238.
Среди слагаемых есть две пары, которые дают круглое число: 4,6 и 5,4, а также 2,35 и 7,65. Чтобы сложить такие пары, сначала поставим их рядом, используя переместительное свойство. Затем сочетательным свойством сгруппируем числа в каждой паре; важно различать перестановку и изменение скобок.
Ответ: 20.
Ошибка — считать, что сочетательное свойство разрешает менять порядок слагаемых. Так думают, потому что при вычислении часто одновременно переставляют числа и меняют скобки. Проверь себя: если слагаемые поменялись местами, обоснуй это переместительным свойством.
При снятии скобок иногда меняют знак или само слагаемое. Это происходит, если правило сложения путают с правилами преобразования выражений с вычитанием. Проверь запись: в сумме должны остаться те же слагаемые и знаки «+», например (a + b) + c = a + b + c.
Некоторые считают, что скобки обязательно нужно вычислять именно в первоначальном порядке. Скобки показывают исходную группировку, но сочетательное свойство разрешает выбрать другую. Сверь записи: порядок и состав слагаемых должны сохраниться, а измениться могут только скобки.
Нельзя без преобразования группировать выражение с вычитанием так же, как сумму. Ошибка возникает из-за того, что вычитание похоже на сложение по записи с числами и знаками. Проверь, есть ли в выражении только сложение; если есть вычитание, сначала преобразуй его в сумму и лишь затем применяй свойства сложения.
Для работы с сочетательным свойством нужно понимать смысл сложения, слагаемого и суммы. Также пригодится умение читать скобки и выполнять действия в выражениях по указанному порядку. Эти знания помогают правильно определить, что именно можно сгруппировать.
Переместительное свойство сложения дополняет сочетательное: первое меняет порядок слагаемых, второе — их группировку. Вместе они позволяют поставить удобные числа рядом и сложить их первыми. Сочетательное свойство используют в устных и письменных вычислениях, а также при упрощении выражений с несколькими слагаемыми.
Что означает сочетательное свойство сложения?
Оно означает, что при сложении трёх чисел можно изменить группировку слагаемых, не меняя значение суммы. Это записывают так: (a + b) + c = a + (b + c).
Можно ли менять местами слагаемые по сочетательному свойству?
Нет, сочетательное свойство меняет только группировку, но сохраняет порядок слагаемых. Для перестановки слагаемых используют переместительное свойство сложения.
Как убрать скобки в сумме?
В выражении, где скобки показывают группу слагаемых, их можно убрать, сохранив все числа и знаки сложения. Например, (a + b) + c можно записать как a + b + c.
Как выбрать удобную группировку слагаемых?
Посмотри, какие числа при сложении дают круглое число, например 10, 100 или 200. Если эти слагаемые стоят не рядом, сначала переставь их с помощью переместительного свойства, а затем сгруппируй.
Можно ли применять сочетательное свойство при вычитании?
Напрямую нельзя: свойство относится к сложению, а вычитание не является сложением. Чтобы преобразовать выражение с вычитанием, сначала нужно представить его как сумму, например заменить вычитание числа сложением противоположного числа.
Сочетательное свойство сложения
