Вычитание

Определения и обозначения

Вычитание — действие, с помощью которого по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Например, если всего было 9 яблок, а 4 уже съели, вычитание помогает узнать, сколько осталось. Это действие используют и тогда, когда нужно сравнить количество или длину двух величин.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи 12 − 5 число 12 является уменьшаемым: оно обозначает исходное количество, которое уменьшается. По нему и по результату можно восстановить вычитаемое или проверить вычисление.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи 12 − 5 это число 5: оно показывает, какую часть убирают или с каким количеством сравнивают. Название помогает не менять числа местами, потому что порядок при вычитании важен.

Разность — результат вычитания; так же называют запись вида a − b. Например, в равенстве 12 − 5 = 7 разность равна 7, а выражение 12 − 5 тоже называется разностью. Этот термин нужен, чтобы коротко обозначать результат и рассуждать о связи вычитания со сложением.

Как это устроено

Вычитание связано со сложением, потому что оно позволяет восстановить неизвестное слагаемое. Если a − b = c, значит, к числу b нужно прибавить c, чтобы получить a: b + c = a. Например, 14 − 6 = 8, потому что 6 + 8 = 14. Поэтому сложение помогает и находить разность, и проверять её.

Вычитание натуральных чисел возможно, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого. Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Если предметов было меньше, чем хотят убрать, оставшееся количество нельзя выразить натуральным числом. Когда a ≥ b, разность показывает, на сколько первое число больше второго: 10 − 7 = 3, то есть 10 больше 7 на 3.

При письменном вычитании многозначных чисел разряды записывают друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками. Начинают с единиц, потому что их значение не зависит от действий в ещё не обработанных разрядах. Затем переходят к десяткам, сотням и дальше, каждый раз вычитая цифры одного разряда. Такая запись помогает не смешивать значения цифр.

Если цифра уменьшаемого в разряде меньше цифры вычитаемого, единиц этого разряда не хватает. Тогда одну единицу ближайшего старшего разряда разменяют на десять единиц соседнего младшего разряда: например, один десяток становится десятью единицами. Если между разрядами стоят нули, размен продолжают через них от ближайшего ненулевого разряда. Цифру, из которой взяли единицу, обязательно уменьшают на 1, иначе значение числа изменится.

Правильность вычитания проверяют сложением, потому что вычитание и сложение восстанавливают исходное число друг из друга. К разности прибавляют вычитаемое и сравнивают полученную сумму с уменьшаемым. Если числа совпали, вычисление согласуется со связью b + c = a. Такая проверка надёжнее повторного вычитания, которое может привести к той же ошибке.

Основные сведения о вычитании

Используй первую строку, чтобы определить роль каждого числа в записи. Условие a ≥ b подсказывает, можно ли получить натуральную разность. Для проверки подставь найденные числа в последнюю строку: сумма разности и вычитаемого должна совпасть с уменьшаемым.

Разбор задач

Вычислите 864 − 321.

Здесь в каждом разряде цифра уменьшаемого не меньше соответствующей цифры вычитаемого, поэтому размен не понадобится. Запишем числа так, чтобы единицы оказались под единицами, десятки — под десятками, а сотни — под сотнями. Затем будем двигаться справа налево. Это сохраняет разрядный порядок вычислений.

1. В разряде единиц вычисляем 4 − 1 = 3. Записываем 3 в разряд единиц результата.
2. В разряде десятков вычисляем 6 − 2 = 4. Записываем 4 рядом с уже найденной цифрой.
3. В разряде сотен вычисляем 8 − 3 = 5. Получаем разность 543.

Ответ: 543. Для проверки прибавим 321: 543 + 321 = 864. Сумма совпала с уменьшаемым, значит, результат верен.

Вычислите 503 − 278.

В единицах нужно вычесть 8 из 3, а в десятках — 7 из 0, поэтому цифр для вычитания не хватает. Нельзя просто вычесть меньшую цифру из большей: необходимо сохранить значение числа 503 и разменять разряды. Между единицами и сотнями стоят нулевые десятки, поэтому размен пойдёт через них. Каждое действие выполняем справа налево.

1. Берём одну сотню из 5 сотен: остаётся 4 сотни, а десятков становится 10. Один десяток разменяем на 10 единиц: теперь десятков 9, единиц 13.
2. Вычитаем единицы: 13 − 8 = 5. В десятках вычитаем 7 из 9 и получаем 2.
3. В сотнях вычисляем 4 − 2 = 2. Записываем цифры по разрядам и получаем 225.

Ответ: 225. Проверка: 225 + 278 = 503. Совпадение с уменьшаемым подтверждает правильность размена и вычитания.

Из числа вычли 186 и получили 429. Найдите это число и проверьте ответ.

Неизвестное число здесь является уменьшаемым: из него вычли 186 и получили разность 429. Чтобы восстановить уменьшаемое, используем обратную связь вычитания со сложением. Складываем разность и вычитаемое, а затем проверяем результат исходным действием. Так можно найти ответ, не подбирая числа.

1. Записываем связь: неизвестное число − 186 = 429. Значит, неизвестное число равно 429 + 186.
2. Складываем по разрядам: единицы 9 + 6 = 15, пишем 5 и переносим 1 десяток. Десятки: 2 + 8 + 1 = 11, пишем 1 и переносим 1 сотню; сотни: 4 + 1 + 1 = 6.
3. Получаем 615. Проверяем: 615 − 186 = 429. Например, при вычитании разменяем разряды и получим 429, как и указано в условии.

Ответ: 615. Проверка подтвердила, что после вычитания 186 получается 429.

Типичные ошибки

Путать уменьшаемое и вычитаемое — значит переставлять числа местами. Так ошибаются, если ориентируются только на цифры и забывают, какое число было исходным, а какое убирают. Обычно 12 − 5 не равно 5 − 12, поэтому порядок менять нельзя. Проверь себя: подпиши, из какого числа вычитают, и сравни результат со связью b + c = a.

Начинать письменное вычитание не с единиц — значит нарушать разрядный порядок. Ошибка возникает, когда вычислитель начинает с самого заметного, например с сотен, и теряет связь между разрядами. Считать нужно справа налево, потому что размен старшего разряда помогает выполнить вычитание в младшем. Проверь запись: цифры должны стоять одна под другой по разрядам, а первые вычисления — относиться к единицам.

После размена можно забыть уменьшить на единицу цифру соседнего старшего разряда. Обычно внимание сосредоточено на том, что к младшему разряду добавились десять единиц, и исходную цифру оставляют без изменения. Тогда число фактически становится больше прежнего, поэтому результат не соответствует условию. Проверь себя: сумма единиц после размена и оставшаяся цифра старшего разряда должны сохранять прежнее значение этих разрядов.

Проверять вычитание повторным вычитанием ненадёжно: одна и та же ошибка может повториться. Так поступают, когда забывают, что вычитание связано со сложением. Прибавь к разности вычитаемое и сравни сумму с уменьшаемым. Если числа различаются, вернись к записи и проверь разряды и размен.

Связь с другими темами

Для вычитания столбиком нужны знания о составе числа по разрядам: единицы, десятки и сотни имеют разное значение. Таблица сложения помогает быстро считать в разрядах и понимать размен, при котором один десяток заменяют десятью единицами. Вычитание также позволяет находить неизвестное слагаемое: нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В текстовых задачах оно помогает отвечать на вопросы «сколько осталось?» и «на сколько больше?».

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a — уменьшаемое, число b — вычитаемое.
• Результат вычитания называется разностью.
• Для натуральных чисел вычитание возможно, если уменьшаемое не меньше вычитаемого.
• При письменном вычитании начинают с разряда единиц.
• Проверка: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.