2.2. Вычитание

Определения и обозначения

Вычитание натуральных чисел — действие, обратное сложению. Если из числа a вычесть число b и получить число c, запись выглядит так: a − b = c. Вычитание помогает узнать остаток, разность между числами или неизвестное слагаемое.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи a − b оно стоит первым, слева от знака «−». По нему определяют, какое количество было сначала или какое число уменьшают.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи a − b оно стоит вторым, после знака «−». Это может быть потраченное количество, убранная часть или число, на которое сравнивают величины.

Разность — результат вычитания. В равенстве a − b = c числом-разностью является c, но словом «разность» также называют всю запись a − b. Знание названий помогает правильно выполнять вычисления и составлять решения задач.

Как это устроено

Запись a − b можно понимать как поиск числа c, которое нужно прибавить к b, чтобы получить a. Например, 9 − 4 = 5, потому что 4 + 5 = 9. Значит, вычитание отвечает на вопрос: какое слагаемое пропущено в сумме, если одно слагаемое и результат уже известны?

Проверка вычитания основана на обратном действии. К разности нужно прибавить вычитаемое: если a − b = c, то c + b должно быть равно a. Например, после вычисления 13 − 8 = 5 проверяем: 5 + 8 = 13, значит, ответ верный.

При вычитании нуля число не меняется, потому что к полученному результату нужно было бы прибавить ноль, а это не изменяет сумму: a − 0 = a. Если уменьшаемое и вычитаемое одинаковы, после удаления всего количества ничего не остаётся. Поэтому a − a = 0.

В натуральных числах результат вычитания должен быть натуральным числом или нулём. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, нельзя найти такое натуральное c, чтобы b + c = a: например, к 7 нельзя прибавить натуральное число и получить 3. Поэтому в натуральных числах вычитание выполняют, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого.

Многозначные числа вычитают по разрядам, начиная с единиц, затем переходят к десяткам, сотням и дальше. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, занимают одну единицу соседнего старшего разряда: она превращается в 10 единиц текущего разряда. После займа цифру старшего разряда обязательно уменьшают на единицу.

Основные случаи и проверка вычитания

Сначала определите, какой случай дан в задаче, а затем примените подходящее правило. Для обычного вычисления после ответа полезно выполнить проверку сложением. При письменном вычитании отдельно следите за займами в соседних разрядах.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 68 − 25 и проверьте результат

Нужно вычесть десятки из десятков, а единицы из единиц. В числе 68 шесть десятков и восемь единиц, в числе 25 — два десятка и пять единиц. Займ занимать не требуется, потому что 8 больше 5.

1. Вычитаем единицы: 8 − 5 = 3.
2. Вычитаем десятки: 6 − 2 = 4.
3. Получаем разность 43.
4. Проверяем сложением: 43 + 25 = 68.

Ответ: 68 − 25 = 43. Проверка совпала с уменьшаемым, поэтому результат верный.

Задача 2. Вычислите 504 − 278

Начинаем с единиц: цифра 4 меньше 8, поэтому нужно занять единицу старшего разряда. В разряде десятков стоит 0, значит, сначала единицу нужно занять у сотен и превратить её в 10 десятков. Затем один десяток передаём в единицы, получая 14 единиц.

1. После займа 4 превращается в 14, а десятков становится 9: 14 − 8 = 6.
2. Вычитаем десятки: 9 − 7 = 2.
3. В сотнях после займа осталось 4: 4 − 2 = 2.
4. Записываем цифры результата слева направо: 226.

Ответ: 504 − 278 = 226. Здесь особенно важно не оставить в разряде десятков ноль после того, как из него заняли единицу.

Задача 3. В коробке было 325 карандашей. После раздачи осталось 178. Сколько раздали?

Известно начальное количество и остаток. Чтобы найти выданную часть, из всего количества вычитаем оставшееся: 325 − 178. Ответ проверим, прибавив найденное количество к остатку.

1. Вычитаем единицы: 5 меньше 8, занимаем десяток и получаем 15 − 8 = 7.
2. В десятках после займа осталось 1; 1 меньше 7, поэтому занимаем сотню: 11 − 7 = 4.
3. В сотнях осталось 2: 2 − 1 = 1.
4. Получаем 147 и проверяем: 178 + 147 = 325.

Ответ: раздали 147 карандашей. Проверка показывает, что остаток и выданные карандаши вместе дают первоначальные 325 карандашей.

Типичные ошибки

Иногда меняют местами уменьшаемое и вычитаемое, будто это сложение. Так делать нельзя: вычитание не обладает переместительным свойством, и результат может измениться или перестать быть натуральным. Проверьте себя, назвав числа по местам и выполнив обратную проверку сложением.

При письменном вычитании можно неправильно занять единицу или забыть уменьшить разряд, из которого её заняли. Такая ошибка появляется, когда вычисляют только текущую цифру и не следят за соседним разрядом. После каждого займа проверьте обе цифры, а затем сложите разность с вычитаемым.

Нельзя считать, что любое натуральное число можно вычесть из другого. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, например 3 − 7, натурального результата нет. Перед вычислением сравните числа и убедитесь, что уменьшаемое не меньше.

Повторное вычитание не является надёжной проверкой результата. Обратное действие для вычитания — сложение, поэтому к разности прибавляют вычитаемое. Если получилась исходная величина, вычисление подтверждено.

Связь с другими темами

До изучения вычитания нужно уметь раскладывать числа по разрядам и знать таблицу сложения. Это помогает правильно вычитать единицы, десятки и сотни. Без понимания состава числа трудно выполнять займы.

Вычитание нужно в текстовых задачах на остаток и разность. Оно также помогает находить неизвестное слагаемое, когда известны сумма и другое слагаемое. Поэтому важно переводить условие задачи в подходящую разность.

Связь вычитания со сложением пригодится при изучении целых чисел и уравнений. Правило обратных действий позволяет находить неизвестные числа. Проверка сложением помогает замечать ошибки в вычислениях.

Что запомнить

• Вычитание — действие, обратное сложению.
• В записи a − b число a — уменьшаемое, b — вычитаемое, результат — разность.
• Проверка: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.
• При вычитании нуля число не меняется.
• Разность двух одинаковых чисел равна нулю.
• В натуральных числах вычитаемое не должно быть больше уменьшаемого.