"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Умножение натуральных чисел заменяет сложение одинаковых слагаемых и помогает быстрее находить сумму повторяющихся чисел. Числа, которые перемножают, называют множителями, а результат — произведением. Свойства умножения позволяют переставлять и группировать множители, раскрывать скобки и выбирать удобный порядок действий. Благодаря им вычисления становятся короче и проще, а решение можно проверить разными способами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 означает сумму 3 + 3 + 3 + 3. Такая запись короче и удобна, когда одно и то же число нужно сложить несколько раз.
Множитель — каждое из чисел, которые перемножают; произведение — результат умножения. В записи 4 · 3 = 12 числа 4 и 3 — множители, а 12 — произведение. Эти названия помогают понять, какую роль играет каждое число в примере.
Переместительное свойство умножения означает, что от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Например, 4 · 3 = 3 · 4. Свойство позволяет выбирать тот порядок, в котором считать удобнее.
Сочетательное свойство умножения означает, что при умножении нескольких чисел можно по-разному расставить скобки: (a · b) · c = a · (b · c). Результат остаётся прежним, потому что в обоих случаях перемножаются одни и те же числа. Это помогает сначала вычислить более простую пару множителей.
В записи 4 · 3 первое число показывает, сколько раз берётся второе: четыре раза по три. Поэтому 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Если поменять числа местами, получится 3 · 4: три раза по четыре, то есть 4 + 4 + 4 = 12. Результат одинаков, потому что в обоих случаях можно представить четыре ряда по три предмета или три ряда по четыре.
Переместительное свойство помогает переставлять множители ради удобства. Например, 2 · 15 можно записать как 15 · 2: удвоить 15 нетрудно, и получается 30. Если в выражении несколько множителей, можно переставить их так, чтобы удобные числа оказались рядом. При этом меняются местами именно множители, а не слагаемые в отдельной сумме.
Сочетательное свойство действует, когда перемножают три или больше числа. В выражении 2 · 5 · 7 можно сначала найти 2 · 5, а затем умножить результат на 7: (2 · 5) · 7. Можно сначала перемножить 5 и 7: 2 · (5 · 7). Оба способа дают один результат, потому что порядок чисел сохранился, а изменилось только то, какие множители вычисляют первыми.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением: a · (b + c) = a · b + a · c. Оно работает потому, что каждое повторение суммы b + c содержит и b, и c: при умножении на a берутся a таких сумм. Например, 3 · (4 + 2) — это три суммы по 4 и 2, то есть 3 · 4 + 3 · 2. Так скобки раскрывают, а большое вычисление разбивают на части.
Свойства помогают группировать множители так, чтобы промежуточные произведения было легко находить. Например, в 25 · 7 · 4 удобно сначала переставить 7 и 4, а затем сгруппировать 25 и 4: (25 · 4) · 7. Получается 100 · 7, что проще, чем сначала вычислять 25 · 7. Выбирай способ, который сокращает вычисления, и проверяй, что переставляешь или группируешь именно множители.
| Свойство | Запись | Пример применения |
|---|---|---|
| Переместительное свойство | a · b = b · a | 4 · 15 = 15 · 4 = 60 |
| Сочетательное свойство | (a · b) · c = a · (b · c) | (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7) = 70 |
| Распределительное свойство относительно сложения | a · (b + c) = a · b + a · c | 6 · (10 + 2) = 6 · 10 + 6 · 2 = 72 |
Сначала определи, что нужно сделать: переставить множители, сгруппировать их или умножить число на каждое слагаемое. Затем выбери преобразование, которое упрощает вычисление. После этого выполни действия и проверь результат.
Задача 1. Вычислите 6 · 4, заменив умножение сложением одинаковых слагаемых. Множитель 6 показывает, сколько раз нужно взять число 4. Поэтому записываем шесть одинаковых слагаемых, каждое из которых равно четырём. Затем складываем их и получаем значение произведения.
Ответ: 24.
Задача 2. Вычислите 25 · 7 · 4 удобным способом. Здесь три множителя, поэтому можно изменить их порядок и поставить скобки. Удобно сначала получить произведение 25 и 4: оно равно круглому числу 100. После этого останется умножить 100 на 7.
Ответ: 700.
Задача 3. Вычислите 18 · 23, представив 23 как сумму 20 и 3. Число 23 удобно разложить на десятки и единицы: 23 = 20 + 3. По распределительному свойству нужно умножить 18 и на 20, и на 3, а затем сложить результаты. Так сложное умножение заменяется двумя более простыми.
Ответ: 414.
Первая ошибка — считать, что переместительное свойство позволяет менять местами любые числа, например слагаемые внутри суммы. Это свойство относится к множителям, потому что умножение и сложение — разные действия. Такую путаницу допускают, перенося правило с одного действия на другое. Проверь себя: найди знак между числами, которые собираешься переставить.
Вторая ошибка — при сочетательном свойстве менять порядок множителей. Сочетательное свойство разрешает передвигать скобки, но оставляет числа на прежних местах; порядок меняет переместительное свойство. Ошибка возникает, если оба правила воспринимать как одно. Для проверки сравни исходную запись и новую: при использовании только сочетательного свойства последовательность множителей должна совпадать.
Третья ошибка — раскрыть скобки и умножить число только на одно слагаемое. Например, из 5 · (2 + 3) нельзя получить 5 · 2 + 3: множитель 5 должен относиться к обоим слагаемым. Чтобы проверить раскрытие, поставь после каждого слагаемого в скобках умножение на внешний множитель.
Четвёртая ошибка — считать, что распределительное свойство сразу раскрывает произведение двух сумм. Формула a · (b + c) относится к числу, умноженному на сумму; если оба множителя — суммы, требуется распределять умножение по отдельности, а не пропускать действия. Ошибку допускают из-за похожего вида скобок. Проверь, что в каждом полученном произведении учтены все слагаемые обоих множителей.
Для понимания умножения нужно уметь складывать натуральные числа и узнавать сумму одинаковых слагаемых. Свойства сложения дают знакомые идеи: слагаемые можно переставлять и группировать. У умножения есть похожие правила, но применять их следует именно к множителям.
Свойства умножения пригодятся в устных вычислениях: с их помощью проще находить произведения и выбирать порядок действий. Они также помогают решать уравнения и упрощать выражения со скобками. Если научиться видеть удобные пары чисел и части суммы, вычислять станет легче.
Почему умножение называют сложением одинаковых слагаемых?
Например, 4 · 3 означает, что число 3 складывают четыре раза: 3 + 3 + 3 + 3. Умножение короче записывает такую сумму.
Можно ли всегда менять множители местами?
При умножении натуральных чисел множители можно переставлять: произведение не изменится. Например, 6 · 4 = 4 · 6. Это правило относится к множителям, а не к любым числам в выражении.
Чем переместительное свойство отличается от сочетательного?
Переместительное свойство позволяет менять множители местами. Сочетательное свойство позволяет менять их группировку скобками, сохраняя порядок.
Как раскрыть скобки, если число умножается на сумму?
Нужно умножить число на каждое слагаемое отдельно, а полученные произведения сложить: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, 18 · (20 + 3) = 18 · 20 + 18 · 3.
Зачем применять свойства умножения при вычислениях?
Свойства помогают подобрать удобный порядок действий и упростить вычисления. Например, в выражении 25 · 7 · 4 можно сначала найти 25 · 4, а потом умножить результат на 7.
2.3. Умножение. Свойства умножения
