"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием. Оно показывает, как умножить число на сумму или разность, не выполняя сначала действие в скобках. С его помощью раскрывают скобки, упрощают выражения и быстрее считают в уме. Можно действовать и наоборот: если несколько слагаемых имеют общий множитель, его выносят за скобки. Главное — умножать или делить на общий множитель каждый нужный член выражения и сохранять знаки действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило a · (b + c) = a · b + a · c. Оно означает, что число перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри, а результаты складывают. Такое правило нужно, чтобы считать сумму частей отдельно или преобразовывать выражения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так: a · (b − c) = a · b − a · c. Число умножают и на уменьшаемое, и на вычитаемое, сохраняя между произведениями знак минус. Это помогает убрать скобки, не меняя значения выражения.
Раскрытие скобок — замена произведения числа на сумму или разность соответствующей суммой или разностью произведений. Например, 2 · (5 + 3) превращается в 2 · 5 + 2 · 3. Приём нужен для упрощения выражений и удобных вычислений.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное раскрытию скобок преобразование: общий множитель нескольких слагаемых записывают перед скобками. Так, a · b + a · c можно записать как a · (b + c). Этот приём помогает сделать вычисления короче и заметить общую часть выражения.
Представь, что есть 3 одинаковые группы предметов, в каждой по 4 красных и 2 синих предмета. В одной группе всего 4 + 2 предмета, поэтому общее количество можно найти как 3 · (4 + 2). Можно посчитать иначе: отдельно взять 3 группы по 4 предмета и 3 группы по 2 предмета, а затем сложить. Получится 3 · 4 + 3 · 2, и оба способа дают одно и то же количество.
Так появляется правило для суммы: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Сначала множитель 3 относится ко всей сумме, то есть к обеим её частям. Если умножить только на 4 или только на 2, одна часть предметов останется неучтённой. Поэтому умножение как бы распределяется по всем слагаемым внутри скобок.
Разность b − c показывает, что из количества b убирают c. Если взять таких разностей a штук, то сначала можно взять a раз по b, а затем убрать a раз по c. Значит, a · (b − c) = a · b − a · c. Знак между произведениями остаётся минусом: вычитаемое тоже умножается на a, но не становится слагаемым.
Множитель может стоять и после скобок: (a + b) · c = a · c + b · c. Это тот же закон, потому что при умножении можно менять множители местами: (a + b) · c = c · (a + b). Затем к полученной записи применяют свойство для умножения числа на сумму. Значит, расположение множителя до или после скобок не меняет правило.
Свойство удобно использовать, когда умножение можно разбить на более простые части, например 7 · 23 представить как 7 · (20 + 3). Обратное преобразование помогает, если несколько слагаемых умножены на одно и то же число: общий множитель выносят за скобки. Внутри скобок остаются результаты деления каждого слагаемого на этот множитель. Выбирать направление преобразования стоит так, чтобы дальше считать было проще.
| Случай | Запись свойства | Пример |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | a · (b + c) = a · b + a · c | 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 |
| Умножение числа на разность | a · (b − c) = a · b − a · c | 6 · (10 − 2) = 6 · 10 − 6 · 2 |
| Множитель после скобок | (a + b) · c = a · c + b · c | (2 + 5) · 3 = 2 · 3 + 5 · 3 |
| Вынесение общего множителя за скобки | a · b + a · c = a · (b + c) | 4 · 6 + 4 · 3 = 4 · (6 + 3) |
Сначала найди, какое действие выполняется в скобках: сложение или вычитание. Затем выбери подходящую строку и проверь, что множитель относится ко всем частям скобок. В последней строке двигайся в обратном направлении: ищи одинаковый множитель в каждом слагаемом.
В каждой задаче полезно сначала заметить устройство выражения, а уже потом считать. Если число умножают на сумму или разность, можно раскрыть скобки и выполнить несколько простых действий. Если слагаемые имеют общий множитель, их можно объединить, чтобы сократить вычисления.
В скобках стоит сумма, поэтому число 7 нужно умножить на каждое слагаемое. Так мы заменим умножение на сумму двумя более простыми произведениями, а затем сложим их.
Ответ: 161.
Здесь в скобках разность. При раскрытии скобок умножаем 6 на оба числа, но между полученными произведениями оставляем минус. Это позволяет не вычислять разность в скобках до умножения.
Ответ: 576.
Оба слагаемых содержат множитель 25, значит, их можно объединить. Если вычислять произведения отдельно, действий будет больше. Вынесем 25 за скобки, сложим числа внутри, а затем умножим результат на 25.
Ответ: 2500.
Первая ошибка — умножить внешний множитель только на первое слагаемое и забыть про второе. Так бывает, когда смотрят на скобки как на одно короткое действие. Проверь себя: после раскрытия скобок множитель должен встретиться у каждого слагаемого. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2.
Вторая ошибка — заменить разность суммой произведений. Знак может потеряться, если ученик сосредоточился на умножении и забыл действие в скобках. Сверь знак между числами в скобках: при b − c между произведениями тоже будет минус, а при b + c — плюс.
Третья ошибка — записать a · (b − c) как ab + ac. Здесь вычитаемое ошибочно превращается в слагаемое. Чтобы проверить себя, прочитай исходное выражение словами: из a произведений уменьшаемого нужно вычесть a произведений вычитаемого. Поэтому верная запись — ab − ac.
Четвёртая ошибка — вынести общий множитель, но оставить внутри скобок исходные слагаемые. Это происходит, если забыть, что обратное раскрытию скобок действие требует деления каждого слагаемого на общий множитель. Например, 12 + 18 = 6 · (2 + 3), потому что 12 : 6 = 2 и 18 : 6 = 3. Проверь результат раскрытием скобок.
Для работы с распределительным свойством нужно уверенно умножать и складывать, понимать порядок действий и находить значение выражений со скобками. Сначала выполняют действия в скобках, если считают выражение напрямую, а при преобразовании применяют правило к каждому слагаемому или вычитаемому. Это свойство пригодится для устных вычислений и упрощения выражений. Оно также помогает преобразовывать записи при решении уравнений: например, раскрывать скобки, чтобы увидеть, какие действия связывают неизвестное число с остальными.
Почему при раскрытии скобок нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма в скобках состоит из нескольких частей, и каждую из них нужно взять столько раз, сколько показывает множитель. Поэтому множитель умножают на каждое слагаемое, а полученные результаты складывают.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножь внешний множитель на уменьшаемое и на вычитаемое. Между полученными произведениями сохрани знак минус: a · (b − c) = ab − ac.
Меняется ли правило, если множитель стоит после скобок?
Нет. По переместительному свойству множители можно поменять местами, не меняя произведение. Поэтому (a + b) · c = a · c + b · c.
Как понять, какой множитель можно вынести за скобки?
Найди число, на которое делится каждое слагаемое. Запиши его перед скобками, а внутри укажи результат деления каждого слагаемого на это число.
Когда распределительное свойство помогает вычислить быстрее?
Оно полезно, когда можно заменить неудобное вычисление простыми действиями или собрать слагаемые с общим множителем. Например, в выражении 18 · 25 + 82 · 25 удобно сначала сложить 18 и 82.
2.4. Распределительное свойство
