"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием. Оно позволяет умножить число на сумму или разность, не выполняя действия в скобках сначала: достаточно умножить это число на каждое слагаемое. Так раскрывают скобки, упрощают выражения и считают удобнее. Обратное действие — вынесение общего множителя за скобки — помогает заменить сумму произведением. Главное — умножать на все слагаемые и сохранять их знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, a · (b + c) = a · b + a · c. Свойство помогает заменить умножение на сумму двумя более простыми умножениями.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа на разность равно разности произведений этого числа на уменьшаемое и вычитаемое. Это записывают так: a · (b − c) = a · b − a · c. Такая запись позволяет умножать на разность, не вычисляя её заранее.
Раскрытие скобок — это замена произведения на сумму или разность произведений с помощью распределительного свойства. Например, выражение 5 · (x + 2) можно записать как 5x + 10. Это нужно, чтобы убрать скобки и упростить дальнейшие вычисления.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное применение распределительного свойства: общую часть слагаемых записывают перед скобками. Например, 3x + 3y = 3 · (x + y). Так можно сократить вычисления, если несколько слагаемых содержат один и тот же множитель.
Представь 3 одинаковые коробки, в каждой из которых лежат 4 красных и 2 синих карандаша. В одной коробке всего 4 + 2 карандаша, поэтому в трёх коробках их 3 · (4 + 2). Можно сначала сложить содержимое одной коробки, а можно посчитать отдельно красные и синие карандаши: 3 · 4 + 3 · 2. Результат одинаковый, потому что оба способа считают одни и те же предметы.
Буквы в записи a · (b + c) обозначают числа, а действие в скобках показывает, что складываются две части. Множитель a относится ко всей сумме, поэтому он учитывает каждую часть: сначала получается a · b, затем a · c. Объединив результаты, получаем a · b + a · c. Именно поэтому равенство a · (b + c) = ab + ac верно для любых подходящих чисел.
Разность b − c означает, что из количества b убирают c. Если это действие повторить a раз, получится a одинаковых разностей. Можно представить, что сначала повторили b предметов a раз, а затем убрали c предметов тоже a раз. Значит, остаётся a · b − a · c, и справедливо равенство a · (b − c) = a · b − a · c.
Если перед скобками стоит число, при раскрытии умножь его на каждое слагаемое внутри. Например, в записи 4 · (x + 6) число 4 умножается и на x, и на 6, поэтому получается 4x + 24. В выражении 3 · (x − 2) действия такие же, но перед вторым произведением сохраняется минус: 3x − 6. Так скобки исчезают, а значение выражения остаётся прежним.
Вынесение общего множителя выполняют в обратном направлении: ищут число или буквенную часть, которая есть в каждом слагаемом. Например, в 36 · 25 + 64 · 25 общим множителем является 25, поэтому выражение превращается в (36 + 64) · 25. Сначала складывать 36 и 64 удобно, потому что получается 100. Общий множитель можно вынести, только если каждое слагаемое действительно содержит его.
| Ситуация | Запись | Что сделать |
|---|---|---|
| Умножение на сумму | a · (b + c) = ab + ac | Умножить на каждое слагаемое и сложить. |
| Умножение на разность | a · (b − c) = ab − ac | Умножить на уменьшаемое и вычитаемое, сохранить минус. |
| Раскрытие скобок | a · (b + c) → ab + ac | Убрать скобки, распределив множитель. |
| Вынесение общего множителя | ab + ac → a · (b + c) | Записать общий множитель перед скобками. |
Сначала определи, что перед тобой: умножение на сумму или разность либо сумма произведений с общим множителем. Затем выбери направление преобразования и проверь, что множитель относится ко всем слагаемым. Знаки внутри скобок при раскрытии сохраняются.
В скобках складываются 20 и 3, а умножать на каждую часть по отдельности удобно. После этого останется сложить два произведения. Такой способ показывает, как работает распределительное свойство на конкретных числах.
Ответ: 161.
Здесь два произведения со скобками, поэтому каждое число нужно распределить на все слагаемые своей скобки. После раскрытия появятся выражения с x и числа, которые можно объединить по отдельности. Знаки в первой сумме и во второй разности важно оставить на своих местах.
Ответ: 7x + 18.
В обоих слагаемых есть множитель 25, значит, можно вынести его за скобки. Тогда числа 36 и 64 окажутся рядом и сложатся до 100. Это проще, чем отдельно умножать 36 и 64 на 25, а затем складывать результаты.
Ответ: 2500.
Иногда множитель перед скобками умножают только на первое слагаемое. Так происходит, если скобки воспринимают как обычную запись, а не как сумму или разность целиком. Проверь себя: после раскрытия должно появиться произведение множителя с каждым слагаемым, например 2 · (x + 3) = 2x + 6.
При раскрытии скобок с разностью можно случайно заменить минус на плюс. Обычно знак теряется, когда ученик торопится или сосредотачивается только на умножении чисел. Сверь запись с правилом: a · (b − c) = ab − ac, а затем подставь простые числа, чтобы убедиться, что значения совпадают.
Ещё одна ошибка — выносить множитель, который есть не во всех слагаемых или не делит одно из них без остатка. Её допускают, потому что замечают похожие числа, но не проверяют каждое слагаемое. Раздели каждое из них на предполагаемый общий множитель: если для любого слагаемого не получается целое число, такой множитель для данного способа выбирать нельзя.
Раскрытие скобок и вынесение множителя иногда путают, потому что оба действия связаны со скобками. При раскрытии произведение становится суммой или разностью, а при вынесении сумма превращается в произведение. Чтобы проверить направление, посмотри, где находится общий множитель: перед скобками или в каждом слагаемом.
Для работы с распределительным свойством нужно уметь складывать, вычитать и умножать натуральные числа, понимать значение скобок и порядок действий. Если эти действия знакомы, можно проверить преобразование вычислением обеих частей выражения. Это помогает заметить ошибку в знаке или пропущенное произведение.
Распределительное свойство пригодится для устных вычислений и преобразования числовых и буквенных выражений. С его помощью можно упростить выражение, а затем использовать полученную запись при решении уравнений. Например, раскрытие скобок помогает собрать слагаемые с одинаковой буквой.
Почему при умножении на сумму нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма показывает, сколько всего предметов находится в нескольких группах. Если каждую часть суммы повторить одинаковое число раз, получим столько же, сколько при умножении этого числа отдельно на каждое слагаемое и сложении результатов. Поэтому a · (b + c) = a · b + a · c.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножь число перед скобками на уменьшаемое и на вычитаемое. Между полученными произведениями оставь знак минус: a · (b − c) = a · b − a · c.
Нужно ли менять знаки слагаемых при раскрытии скобок?
Нет, при умножении положительного числа на сумму или разность знаки внутри скобок сохраняются. Например, 3 · (x − 2) = 3x − 6: второе произведение остаётся со знаком минус.
Чем раскрытие скобок отличается от вынесения общего множителя?
При раскрытии скобок произведение превращают в сумму или разность произведений: a · (b + c) = ab + ac. При вынесении общего множителя делают обратное: из суммы произведений получают произведение со скобками.
Как распределительное свойство помогает быстрее считать?
Оно позволяет найти одинаковый множитель в слагаемых и записать его один раз за скобками. Например, 36 · 25 + 64 · 25 можно посчитать как (36 + 64) · 25, то есть 100 · 25.
4.2. Распределительное свойство
