4.1. Свойства сложения и умножения

Определения и обозначения

Переместительное свойство сложения: a + b = b + a. Сумма не изменяется, если слагаемые поменять местами. Это позволяет сначала складывать те числа, которые дают круглое или особенно удобное число.

Сочетательное свойство сложения: (a + b) + c = a + (b + c). Слагаемые можно объединять в разные группы, не меняя их порядка. Свойство помогает выбрать удобную пару или тройку чисел для вычисления.

Переместительное и сочетательное свойства умножения: a · b = b · a и (a · b) · c = a · (b · c). Множители можно переставлять и по-разному объединять. Так проще получить произведение 10, 100 или другое знакомое число.

Распределительное свойство умножения относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c. Число перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри скобок. Это правило помогает раскрывать скобки и, наоборот, выносить общий множитель.

Как это устроено

Если к группе из 38 предметов добавить ещё 17, а потом 62, общий результат не зависит от того, какую группу назвать первой. Поэтому 38 + 17 = 17 + 38, как и 38 + 62 = 62 + 38. Перестановка позволяет поставить рядом числа 38 и 62: их сумма равна 100.

Сочетательное свойство меняет не порядок слагаемых, а способ их объединения. В выражении 18 + 25 + 2 удобно сначала найти 18 + 2, потому что эти числа дают 20. Записи (18 + 25) + 2 и 18 + (25 + 2) имеют один результат, но вторая группа считать удобнее.

При умножении происходит похожая ситуация: результат не зависит ни от места множителя, ни от выбранной пары. В выражении 25 · 7 · 4 можно переставить 4 рядом с 25 и получить 25 · 4 = 100. Затем остаётся умножить 100 на 7, что проще, чем выполнять действия слева направо.

Распределительное свойство объясняется разбиением суммы на части. Например, 6 · (20 + 3) означает шесть групп, в каждой из которых 20 + 3 предмета, то есть 6 групп по 20 и ещё 6 групп по 3. Поэтому 6 · (20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3.

Свойства сложения и умножения

В первой части таблицы показано, как менять порядок и группировку чисел. В последней строке видно, как умножение связано со сложением. Выбирайте запись, которая превращает вычисление в более простой шаг.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 38 + 17 + 62 удобным способом. Здесь нужно найти числа, которые при сложении образуют круглую сотню. Для этого сначала изменим порядок слагаемых.

1. Переставим 17 и 62: 38 + 17 + 62 = 38 + 62 + 17.
2. Объединим первые два слагаемых: 38 + 62 = 100.
3. Прибавим оставшееся число: 100 + 17 = 117.

Ответ: 117. Мы применили переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы не складывать числа в неудобном порядке.

Задача 2. Вычислите 25 · 7 · 4, не выполняя умножение по порядку. Числа 25 и 4 удобно перемножить первыми, потому что их произведение равно 100. Значит, множители нужно переставить и сгруппировать.

1. Переставим 4 и 7: 25 · 7 · 4 = 25 · 4 · 7.
2. Объединим первые множители: 25 · 4 = 100.
3. Выполним последнее умножение: 100 · 7 = 700.

Ответ: 700. Переместительное и сочетательное свойства умножения разрешили сначала получить удобное круглое число.

Задача 3. Вычислите 18 · 37 + 82 · 37 удобным способом. В обоих произведениях есть общий множитель 37. Его можно вынести за скобки, применив распределительное свойство в обратном направлении.

1. Запишем сумму произведений как произведение общего множителя на сумму других множителей: 18 · 37 + 82 · 37 = (18 + 82) · 37.
2. Сложим числа в скобках: 18 + 82 = 100.
3. Умножим результат на 37: 100 · 37 = 3700.

Ответ: 3700. Проверка выполняется раскрытием скобок: (18 + 82) · 37 снова превращается в 18 · 37 + 82 · 37.

Типичные ошибки

Ошибка — переставить числа при вычитании или делении так, будто это слагаемые или множители. Так делают по привычке после изучения сложения и умножения, но 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12. Проверяйте, какое действие указано между числами.

При группировке иногда пропускают слагаемое или меняют его знак. Такая ошибка возникает, когда длинное выражение переписывают слишком быстро. Сверьте исходную и новую запись: каждое число и каждый знак должны сохраниться.

Нельзя в выражении a · (b + c) умножить a только на b или только на c. Множитель перед скобками относится ко всей сумме, поэтому нужно получить два произведения. Для проверки раскройте скобки и убедитесь, что записаны a · b и a · c.

При вынесении общего множителя иногда выносят число, которого нет в каждом произведении. Ошибка становится заметной, если после раскрытия скобок получается не исходное выражение. Всегда выполните обратную проверку по распределительному свойству.

Связь с другими темами

До изучения свойств нужно уметь находить значения числовых выражений и знать порядок выполнения действий. Это помогает понять, какие действия выполняются сначала и где можно изменить группировку. Скобки по-прежнему задают нужный порядок вычислений.

Свойства нужны при устных вычислениях, упрощении выражений и решении задач в несколько действий. С их помощью можно заменить длинную запись короткой и удобной. Особенно полезно искать круглые числа и общие множители.

Что запомнить

• Слагаемые можно переставлять и группировать.
• Множители можно переставлять и группировать.
• От перестановки слагаемых сумма не меняется.
• От перестановки множителей произведение не меняется.
• При умножении числа на сумму это число умножают на каждое слагаемое.
• Распределительное свойство можно применять и в обратном направлении, вынося общий множитель за скобки.