15. Распределительное свойство

Определения и обозначения

Распределительное свойство умножения относительно сложения — это правило, по которому число можно умножить на сумму, умножив его на каждое слагаемое отдельно, а затем сложив результаты: a · (b + c) = a · b + a · c. Здесь a, b и c обозначают числа, а точка означает умножение. Правило нужно, чтобы заменять вычисление со скобками несколькими более удобными действиями.

Распределительное свойство относительно вычитания записывают так: a · (b − c) = a · b − a · c. Иными словами, число перед скобками умножается и на уменьшаемое, и на вычитаемое, а между результатами сохраняется знак минус. Эта запись помогает считать выражения с разностью и не терять ни одно действие при раскрытии скобок.

Возможна и обратная запись: a · b + a · c = a · (b + c). Число, которое повторяется как множитель в обоих произведениях, называют общим множителем. Его выносят за скобки, чтобы заменить несколько действий одним умножением на сумму.

Как это устроено

Представим, что нужно умножить 4 на сумму 10 и 3. Сумма 10 + 3 состоит из двух частей, поэтому четыре раза взять её целиком — то же самое, что четыре раза взять 10 и четыре раза взять 3, а потом сложить эти количества. Отсюда получается равенство 4 · (10 + 3) = 4 · 10 + 4 · 3. Это не новый способ менять значение выражения, а другое описание тех же самых групп.

Свойство полезно, когда сумму внутри скобок легко представить как десятки и единицы. Например, число 23 можно записать как 20 + 3, поэтому 6 · 23 = 6 · (20 + 3) = 120 + 18 = 138. Мы выбираем разложение не случайно: умножить 6 на 20 и на 3 в уме проще, чем сразу выполнять умножение на 23. Если другой способ удобнее, число можно разложить иначе.

При вычитании действует похожее рассуждение, но результат второй части нужно вычесть. Например, 5 · (12 − 2) означает пять раз взять разность 12 и 2; это равно пяти двенадцаткам без пяти двоек: 5 · 12 − 5 · 2. Поэтому в формуле сохраняется минус. Если заменить его плюсом, получится уже другое выражение и другое число.

Правило можно применять и в обратном направлении. В выражении 7 · 3 + 7 · 5 множитель 7 повторяется, значит, его можно вынести за скобки: 7 · (3 + 5). Так запись становится короче, а иногда и вычисления проще. Чтобы выбрать направление, посмотри, что удобнее: раскрыть скобки и получить отдельные произведения или собрать повторяющийся множитель слагаемых.

Как применять распределительное свойство

Сначала определи, есть ли скобки или повторяющийся множитель. Затем выбери подходящую строку таблицы и проверь, что умножение относится ко всем числам в скобках. Если сомневаешься, вычисли выражение исходным способом и новым способом: ответы должны совпасть.

Разбор задач

Задача. Вычисли 24 · 17, используя распределительное свойство. Умножать 24 на 17 столбиком можно, но здесь удобно представить 17 как сумму 10 и 7. Тогда исходное произведение превратится в сумму двух более простых произведений.

1. Записываем 17 как сумму: 17 = 10 + 7. Значит, 24 · 17 = 24 · (10 + 7). Мы выбрали такое разложение, потому что умножать на 10 и на 7 легче, чем сразу на 17.

2. Применяем распределительное свойство: 24 · (10 + 7) = 24 · 10 + 24 · 7. Множитель 24 умножается на оба слагаемых, а между произведениями остаётся знак сложения.

3. Вычисляем первое произведение: 24 · 10 = 240. При умножении на 10 к числу приписывается ноль, поэтому это действие особенно удобно.

4. Вычисляем второе произведение: 24 · 7 = 168. Теперь складываем результаты: 240 + 168 = 408.

Ответ: 24 · 17 = 408. Проверим другим способом: 17 · 24 = 17 · (20 + 4) = 340 + 68 = 408. Совпадение показывает, что вычисления согласуются; при проверке мы снова применили распределительное свойство, выбрав другое разложение.

Ещё один пример. Вычислим 8 · 19 − 8 · 9. Здесь не нужно отдельно находить оба произведения: в обоих слагаемых есть общий множитель 8. Выносим его за скобки и получаем 8 · (19 − 9) = 8 · 10 = 80.

Типичные ошибки

• Умножают число только на первое слагаемое: например, вместо 3 · (5 + 2) записывают 3 · 5 + 2. Так происходит, когда забывают, что число перед скобками относится ко всем её членам. Проверь себя: раскрой скобки по формуле и убедись, что множитель повторился у каждого слагаемого.

• Теряют знак минус при умножении на разность: 4 · (9 − 2) ошибочно превращают в 4 · 9 + 4 · 2. Иногда это случается потому, что запомнили только формулу для суммы. Сравни знаки внутри скобок и между результатами: при разности после умножения тоже остаётся вычитание.

• Неверно считают одно из полученных произведений или складывают их. Распределение не отменяет обычные правила умножения и сложения. Проверь каждый шаг отдельно, а затем вычисли исходное выражение другим способом: два результата должны быть одинаковыми.

Связь с другими темами

Распределительное свойство связано со скобками и порядком действий: оно позволяет перейти от умножения суммы к отдельным произведениям. Оно помогает выполнять устные вычисления, раскладывая число на удобные части, например десятки и единицы. Сложение и умножение также связаны через обратное применение правила: общий множитель можно вынести за скобки. Позже это же умение пригодится при работе с буквенными выражениями.

Что запомнить

• При умножении на сумму умножай на каждое слагаемое: a · (b + c) = a · b + a · c.

• При умножении на разность сохраняй вычитание: a · (b − c) = a · b − a · c.

• Общий множитель можно вынести за скобки, если он повторяется в слагаемых.

• Проверяй, что множитель учтён у каждого числа в скобках и знаки записаны верно.