"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Уравнение помогает найти неизвестную величину в задаче. Чтобы его составить, нужно понять, какие числа известны и как они связаны, а затем обозначить неизвестное буквой. Левая и правая части уравнения показывают одну и ту же величину разными способами. После решения проверь найденное число подстановкой и сверь его с вопросом задачи: только тогда можно записать ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестное число — величина, значение которой требуется найти. Его обозначают буквой, например x, и поясняют, что именно она означает: «Пусть x — число наклеек, которое было сначала». Такое пояснение связывает букву с вопросом задачи и помогает не перепутать искомое число с другими величинами.
Уравнение — равенство, в котором есть неизвестное. Оно выражает условие задачи: например, если к неизвестному числу прибавили 7 и получили 19, можно записать x + 7 = 19. Левая и правая части равны, потому что описывают один результат: сначала через неизвестное, а затем известным числом.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство становится верным. В уравнении x + 7 = 19 корень равен 12, потому что 12 + 7 = 19. Его проверяют подстановкой: так можно заметить ошибку в вычислениях и убедиться, что равенство действительно выполняется.
Решить задачу — значит найти ответ, используя условие, и убедиться, что он подходит по смыслу. Одного правильного корня недостаточно: нужно проверить, ту ли величину обозначали буквой и именно ли о ней спрашивали. После этого ответ записывают словами, а при необходимости указывают единицы измерения.
Сначала внимательно прочитай задачу и выясни, какие величины известны, что нужно узнать и как они связаны. Это нужно сделать до вычислений: отдельные числа сами по себе не объясняют, какое действие требуется. Например, слова «всего», «осталось» и «на 6 больше» описывают разные связи. Если определить их заранее, будет легче выбрать подходящий способ решения.
Неизвестную величину обозначают буквой, но сначала полезно спросить себя, о чём именно задача. Выбранная буква должна помогать просто записать остальные величины: если во второй коробке x карандашей, а в первой на 6 больше, то в первой x + 6. Так не приходится вводить лишние обозначения, а смысл каждого выражения остаётся понятным. Подпись к букве помогает проверять ход решения.
Из условия составляют уравнение: его части должны выражать одну и ту же величину двумя способами. Например, общее количество можно посчитать сложением содержимого двух коробок, а в условии оно уже дано числом. Поэтому запись x + (x + 6) = 46 связывает описание коробок с известным общим количеством. Если части равны по смыслу, уравнение точно передаёт условие.
Составленное уравнение решают с помощью известных действий с натуральными числами и свойств равенств. Нужно выполнять преобразования аккуратно и сохранять равенство: если действие применено к одной части, оно должно быть согласовано с другой. Для простых уравнений часто достаточно вспомнить, как находят неизвестный компонент действия. Например, из x + 8 = 23 следует, что x = 23 − 8.
Найденное значение подставляют в уравнение, чтобы убедиться, что оно верно. Но проверка на этом не заканчивается: нужно вспомнить, что обозначала буква, и ответить именно на вопрос задачи. Если спрашивали цену альбома, найденная цена тетради ещё не является ответом. Сверь результат с условием: количество не должно быть отрицательным, а число предметов обычно должно быть целым.
В таблице показано, как распространённые связи из условия записывают с помощью неизвестного. Буква a означает известное число, а x — неизвестное; в примерах вместо букв подставлены конкретные числа. Перед записью уравнения определи, какое число было неизвестным в условии и в каком порядке выполнялись действия. Затем проверь, что результат в записи совпадает с результатом, названным в задаче.
| Связь в условии | Как записать | Пример записи |
|---|---|---|
| К неизвестному прибавили число и получили результат | x + a = b | x + 7 = 19 |
| Из неизвестного вычли число и получили результат | x − a = b | x − 5 = 12 |
| К числу прибавили неизвестное и получили результат | a + x = b | 8 + x = 20 |
| Неизвестное умножили на число и получили результат | a · x = b | 4 · x = 28 |
| Неизвестное разделили на число и получили результат | x : a = b | x : 3 = 6 |
У Маши было несколько наклеек. После того как ей подарили 8 наклеек, стало 23. Нужно узнать, сколько наклеек было сначала. Обозначим начальное количество буквой x: подарок прибавили к этому количеству, а итоговое число известно. Значит, условию соответствует уравнение x + 8 = 23.
Составим уравнение: x + 8 = 23. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычтем известное слагаемое: x = 23 − 8. Получаем x = 15.
Проверим корень подстановкой: 15 + 8 = 23. Равенство верно, значит, уравнение решено правильно. Число 15 показывает количество наклеек до подарка.
Ответим на вопрос задачи: сначала у Маши было 15 наклеек. Здесь корень и ответ совпадают, потому что x обозначал именно начальное количество.
В двух коробках 46 карандашей, а в первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй. Нужно найти количество карандашей в каждой коробке. Удобно обозначить через x количество во второй коробке: тогда в первой x + 6. Вместе в коробках x + (x + 6) карандашей, и это число равно 46.
Запишем уравнение: x + (x + 6) = 46. Складываем подобные слагаемые и получаем 2 · x + 6 = 46. Вычитаем 6: 2 · x = 40, значит, x = 20.
Во второй коробке 20 карандашей. В первой на 6 больше: 20 + 6 = 26. Выбранное обозначение помогло сначала найти одну величину, а затем получить вторую.
Проверим условие: 20 + 26 = 46, а 26 − 20 = 6. Оба условия выполнены, поэтому ответ: в первой коробке 26 карандашей, во второй — 20.
За 4 одинаковые тетради заплатили 36 рублей, а альбом стоит на 15 рублей больше, чем одна тетрадь. Спрашивают цену альбома, поэтому сначала найдём цену одной тетради, а потом прибавим 15. Если цена тетради равна x рублей, цена четырёх тетрадей равна 4 · x. Так получаем уравнение 4 · x = 36.
Найдём цену одной тетради: 4 · x = 36, поэтому x = 36 : 4 = 9. Это цена тетради, но ещё не ответ на вопрос задачи. Такое промежуточное значение нужно, чтобы вычислить цену альбома.
Альбом на 15 рублей дороже одной тетради, значит, его цена равна 9 + 15 = 24 рубля. Проверим промежуточный результат: 4 тетради по 9 рублей стоят 4 · 9 = 36 рублей.
Сверим итог с вопросом: найдено именно то, сколько стоит альбом. Ответ: альбом стоит 24 рубля.
Иногда буквой обозначают не ту величину или забывают пояснить её смысл. Тогда уравнение становится трудно связать с вопросом, а найденное число можно принять не за тот ответ. Ошибка часто возникает, когда начинают считать, не прочитав задачу до конца. Подпиши неизвестное словами и перед ответом проверь, что оно обозначает.
Другая ошибка — записать числа из условия, не учитывая порядок действий и смысл слов «больше», «меньше», «всего». Например, «на 6 больше» означает прибавить 6 к меньшему количеству, а не заменить сумму вычитанием. Такая путаница появляется, если ориентироваться на отдельные слова или числа. Проверь запись, пересказав её обычными словами и сравнив с условием.
Уравнение может быть составлено правильно, но решено с нарушением порядка действий или свойств равенства. Например, при поиске неизвестного слагаемого нужно вычесть известное слагаемое из суммы, а не сложить их. Чтобы не ошибиться, вспомни правило для неизвестного компонента и выполняй одинаковые преобразования обеих частей равенства. Подстановка найденного числа покажет, сохраняется ли равенство.
Найденный корень иногда сразу записывают как ответ, не проверив смысл задачи. Но буква может обозначать промежуточную величину, как цена одной тетради, когда спрашивают стоимость альбома. Причина ошибки — остановиться после решения уравнения и не вернуться к вопросу. Проверь, о чём спрашивали, выполни оставшиеся действия и запиши ответ с нужными единицами.
Для решения задач уравнением нужны действия с натуральными числами и умение находить неизвестный компонент сложения, вычитания, умножения и деления. Буква в уравнении связана с буквенными выражениями: она обозначает число, а выражение показывает зависимость между величинами. Позже этот способ пригодится при решении более сложных уравнений и задач на движение, покупки и совместную работу. Во всех таких случаях важно сначала понять связь величин, а уже затем записывать её математически.
Как понять, какую величину обозначить буквой?
Обычно буквой обозначают ту величину, о которой спрашивают. Выбирай её так, чтобы остальные величины можно было выразить через неё простыми действиями. Обязательно подпиши, что означает буква.
Как перевести слова задачи в уравнение?
Сначала определи, какие величины сравнивают или складывают. Затем запиши эту связь с помощью действий и чисел из условия. Проверь, что обе части уравнения описывают одно и то же.
Почему в уравнении важно правильно выбрать неизвестное?
От выбора неизвестного зависит, насколько просто будет записать условие. Если буква обозначает удобную величину, другие значения легко выразить через неё. Неверный выбор может запутать решение, хотя саму задачу всё равно можно решить.
Как проверить, что уравнение решено верно?
Подставь найденное число вместо буквы и выполни действия в обеих частях. Если получились равные значения, уравнение верно решено. Затем проверь, подходит ли число по смыслу задачи.
Почему корень уравнения не всегда сразу является ответом задачи?
Корень — это значение буквы, при котором уравнение становится верным. Но буква может обозначать не ту величину, о которой спрашивают, или требуется выполнить ещё одно действие. Поэтому нужно вернуться к вопросу задачи и сформулировать ответ.
16. Решение задач
