Углы и многоугольники

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Это общее начало называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Например, у угла ABC вершина — точка B, а стороны — лучи BA и BC. Такое обозначение помогает понять, какие лучи образуют угол и где находится его вершина.

Вершина угла — общая точка двух лучей, образующих угол. Её обозначают заглавной буквой, например B, и в записи угла тремя буквами ставят эту букву посередине: ∠ABC. Стороны угла обозначают по точкам, лежащим на соответствующих лучах: BA и BC. Это нужно, чтобы отличать один угол от другого, если в одной точке сходятся несколько лучей.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Отрезки, из которых состоит ломаная, называются сторонами многоугольника, а точки соединения соседних отрезков — его вершинами. Например, у треугольника три стороны и три вершины. Эти названия помогают описывать устройство фигуры и считать её части.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, не являющиеся соседними. Например, в четырёхугольнике диагональ соединяет вершины через одну, а не те, которые уже соединены стороной. Диагонали помогают видеть внутреннее устройство многоугольника и делить его на более простые фигуры. Поэтому сначала нужно определить, какие вершины соседние.

Как это устроено

Чтобы распознать угол, найди две полупрямые, выходящие из одной точки. Эта общая точка — вершина, а сами лучи — стороны угла; точка на стороне не становится вершиной только потому, что лежит на луче. Если обозначать угол тремя буквами, букву вершины ставят посередине: в ∠ABC вершина — B. Такой порядок нужен, чтобы запись не перепутала вершину с точками на сторонах.

Транспортир измеряет угол в градусах. Сначала приложи его так, чтобы центр транспортира совпал с вершиной угла, иначе шкала будет отсчитываться не от нужной точки. Затем совмести нулевую отметку с одной стороной и найди место, где вторая сторона пересекает шкалу. У многих транспортиров две шкалы, поэтому выбирай ту, у которой отсчёт начинается с нуля у совмещённой стороны: только она показывает нужный угол.

Сравнивая углы, смотрят на величину их раскрытия, а не на длину сторон. Лучи можно продолжать в любом направлении, и при этом они остаются теми же сторонами угла. Расстояние между концами нарисованных лучей может стать больше, но угол от этого не меняется. Поэтому два угла с разной длиной сторон могут иметь одинаковую градусную меру.

У многоугольника стороны идут одна за другой и возвращаются к начальной точке: так получается замкнутая ломаная. Если ломаная не замкнута, она не ограничивает многоугольник. Каждая сторона соединяет две соседние вершины, поэтому при обходе границы число сторон совпадает с числом вершин. Например, у пятиугольника пять сторон и пять вершин.

Чтобы найти диагонали, выбери вершину и рассмотри отрезки от неё к остальным вершинам. Отрезки к двум соседним вершинам уже являются сторонами, а отрезки к несоседним — диагоналями. У выпуклого многоугольника такие отрезки проходят внутри фигуры, поэтому это помогает отличить диагональ от внешнего отрезка. Проверяй обе части определения: концы отрезка должны быть вершинами, и эти вершины не должны быть соседними.

Многоугольники по числу сторон

Чтобы определить название многоугольника, посчитай его стороны или вершины: результат будет одинаковым. Затем можно обозначить вершины буквами и назвать стороны по концам отрезков. На рисунке также отмечают диагонали, соединяющие несоседние вершины.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте транспортиром изображённый угол и запишите его градусную меру. Числового рисунка в условии нет, поэтому конкретное значение заранее назвать нельзя. Решение показывает, как получить его по самому чертежу.

1. Найди общую точку сторон угла — это его вершина. Поставь центр транспортира точно на эту точку. Если центр смещён, отсчёт будет идти не от вершины и результат окажется неверным.

2. Совмести прямую часть транспортира с одной стороной угла так, чтобы нулевая отметка оказалась у этой стороны. Проследи, куда направлен луч, чтобы не совместить его с противоположной частью шкалы. Теперь основание и нулевая отметка задают начало измерения.

3. Посмотри, где вторая сторона пересекает шкалу, начинающуюся с совмещённого нуля. Запиши число градусов у этой отметки, например 65°, если именно там проходит луч. Ответом будет показание транспортира; для конкретного чертежа его нужно снять непосредственно с изображения.

Задача 2. Начертите угол величиной 65°. Нужно получить два луча с общей вершиной и раскрытием ровно 65°. Проверь построение транспортиром, а не длиной начерченных лучей.

1. Проведи луч из выбранной точки — она станет вершиной будущего угла. Приложи транспортир так, чтобы его центр совпал с этой точкой, а нулевая отметка лежала на проведённом луче. Этот луч будет первой стороной угла.

2. Найди на подходящей шкале отметку 65° и поставь рядом с ней точку. Выбирай шкалу, отсчёт которой начинается от нуля у первой стороны. Так ты не перепутаешь угол 65° с другим значением по противоположной шкале.

3. Убери транспортир и проведи из вершины второй луч через отмеченную точку. Получившийся угол имеет величину 65°. Ответ: угол 65° построен; длина лучей на его величину не влияет.

Задача 3. Для пятиугольника назовите вершины и стороны, затем проведите все диагонали из одной вершины. Обозначим вершины по порядку A, B, C, D, E. Нужно сначала обойти границу фигуры, а уже потом выбирать отрезки внутри неё.

1. Запиши вершины по порядку: A, B, C, D, E. Соседние точки при обходе границы соединены сторонами, включая последнюю E с первой A. Поэтому стороны пятиугольника — AB, BC, CD, DE и EA.

2. Выбери вершину A. Её соседями являются B и E, поэтому AB и AE — стороны, а не диагонали. Оставшиеся вершины C и D не соседствуют с A.

3. Соедини A с C и A с D. Эти отрезки проходят внутри пятиугольника и соединяют несоседние вершины, значит, это диагонали из A. Ответ: стороны AB, BC, CD, DE, EA; диагонали из A — AC и AD.

Типичные ошибки

Иногда вершиной угла считают любую точку на его стороне. Так происходит, потому что на рисунке на луче могут быть отмечены разные точки. Проверь себя: вершина — только общее начало обоих лучей, то есть точка, из которой выходят обе стороны.

При измерении центр транспортира могут приложить не к вершине. Ошибка возникает, когда ориентируются только на край прибора и забывают проверить его центральную отметку. Перед считыванием результата убедись, что центр точно совпал с общей точкой сторон; при необходимости поправь положение транспортира.

Две шкалы транспортира легко перепутать, если не посмотреть, где находится ноль. Тогда можно прочитать число с внешней шкалы, хотя отсчёт должен начинаться от другой стороны. Проверь, у какого нуля лежит сторона угла, совмещённая с основанием, и читай только эту шкалу.

Отрезок между несоседними вершинами могут назвать стороной многоугольника. Его принимают за сторону, потому что он соединяет вершины, но стороны образуют внешнюю границу фигуры. Проверь, идут ли концы отрезка рядом при обходе границы: если между вершинами есть другая вершина, отрезок является диагональю.

Связь с другими темами

Для работы с углами и многоугольниками нужно узнавать луч, отрезок, прямую и замкнутую ломаную. Эти фигуры уже встречаются при изучении начальных геометрических понятий. Понимание того, чем луч отличается от отрезка, помогает правильно назвать стороны угла и многоугольника.

Знание прямого угла и измерение транспортиром пригодятся при изучении геометрических фигур и перпендикулярных прямых. Умение откладывать заданную градусную меру нужно и для построений. Такие навыки помогают точнее чертить и проверять геометрические чертежи.

Понятия сторон, вершин и диагоналей понадобятся, когда начнёшь изучать виды многоугольников и их свойства. Названия частей позволяют описывать фигуру точно, а не просто указывать на её линии. По числу сторон и вершин можно распознать многоугольник и сравнивать его с другими.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Градусная мера угла не зависит от длины его сторон.
• При измерении угла центр транспортира совмещают с вершиной.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• У многоугольника число вершин равно числу сторон.
• Диагональ соединяет несоседние вершины многоугольника.