17. Как обозначают и сравнивают углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Луч — часть прямой, у которой есть начало и которая продолжается в одну сторону. Представьте два луча, выходящие из одной точки: вместе они образуют угол. Это понятие помогает описывать, как направлены стороны геометрической фигуры.

Вершина угла — общее начало лучей, которые образуют угол. На чертеже вершину обычно обозначают заглавной буквой, например B. По ней можно понять, где встречаются стороны угла. Буква вершины также участвует в названии угла.

Стороны угла — лучи, имеющие общее начало и образующие угол. На каждой стороне можно отметить точку и обозначить её буквой. Эти точки помогают точно назвать угол, особенно когда возле одной вершины изображено несколько углов. Сторонами являются именно лучи, а не отрезки между отмеченными точками.

Обозначение угла — запись со знаком ∠: используют одну букву у вершины или три буквы. При записи тремя буквами буквы точек на сторонах ставят по краям, а букву вершины — посередине. Например, в ∠ABC вершина — B. Такое правило позволяет увидеть из записи, где находится вершина и какие стороны выбраны.

Как это устроено

Чтобы назвать угол тремя буквами, сначала выбирают по одной точке на каждой его стороне. Затем записывают буквы этих точек, а букву вершины помещают между ними: ∠ABC имеет вершину B. Это нужно потому, что точки на сторонах показывают, какой угол имеется в виду, а средняя буква однозначно указывает место, где сходятся лучи. Если поменять местами буквы сторон, получится другое направление записи того же угла: ∠CBA тоже имеет вершину B.

Когда у одной вершины сходятся несколько лучей, они могут образовать несколько углов. Одна буква у вершины тогда не сообщает, какой именно угол выбран: возле B, например, могут быть углы между разными парами лучей. В записи тремя буквами крайние буквы указывают нужные стороны, поэтому обозначение становится точным. Чтобы сделать такую запись, сначала выясните, какие точки лежат на сторонах выбранного угла, и только потом называйте их.

Для сравнения углов один из них мысленно или аккуратно на чертеже накладывают на другой. Сначала совмещают вершины, затем одну сторону направляют вдоль стороны другого угла. Важно сделать именно так, чтобы сравнивать раскрытие углов, а не их положение на странице. После совмещения становится видно, где оказалась вторая сторона каждого угла.

Если при наложении совпадают и вершины, и соответствующие стороны, углы равны: у них одинаковое раскрытие. Если одна сторона второго угла попала внутрь первого, второй угол меньше первого. Это можно представить как сравнение двух раскрытых ножниц: при общей точке и совмещённой ручке положение второй части показывает, какой угол раскрыт шире. Сравнивать надо именно стороны, а не их длину.

Для сравнения не обязательно заранее знать числовую меру углов. Достаточно наложить их и установить, какой больше, меньше или равен другому. Это полезно, когда угол нарисован без числа или его ещё не измеряли. Числовая мера понадобится при измерении, но для простого сравнения можно обойтись расположением сторон.

Обозначение и сравнение углов

Сначала проверьте, сколько углов изображено у вершины: от этого зависит, можно ли назвать угол одной буквой. Если выбрали три буквы, проследите, чтобы буква вершины стояла посередине. Для сравнения мысленно совместите вершины и по одной стороне, а затем посмотрите на оставшиеся стороны.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён угол с вершиной B и точками A и C на его сторонах. Нужно записать его обозначение. Сначала определим, что B — общее начало двух лучей, а A и C отмечены на этих лучах. Значит, крайними в записи будут A и C, а вершину поставим между ними.

1. Вспоминаем правило: в названии угла тремя буквами вершина стоит посередине.
2. Записываем букву точки на одной стороне, затем вершину B и букву точки на другой стороне: ∠ABC.
3. Можно поменять порядок букв сторон, сохранив B в середине: ∠CBA.

Ответ: ∠ABC или ∠CBA. Обе записи называют угол с вершиной B, образованный лучами BA и BC. Нельзя поставить B первой или последней: тогда запись не будет следовать правилу обозначения тремя буквами.

Задача 2. У вершины O изображены два угла. Объясним, почему одной буквы недостаточно, и обозначим оба угла. Одна буква O сообщает только общую вершину, но не показывает, между какими именно лучами расположен каждый угол. Поэтому сначала найдём точки на сторонах обоих углов. Пусть точки A и B лежат на сторонах первого, а C и D — на сторонах второго.

1. Для первого угла называем точки на его сторонах и ставим вершину между ними: ∠AOB.
2. Для второго угла используем его стороны и ту же вершину: ∠COD.
3. Проверяем, что в каждой записи O стоит посередине и крайние буквы относятся к сторонам нужного угла.

Ответ: обозначения ∠AOB и ∠COD различают углы, а одной буквы O было бы недостаточно. Если точки на рисунке обозначены иначе, нужно взять именно их названия. Проверка простая: мысленно проследите от средней буквы к каждой крайней — так вы увидите стороны выбранного угла.

Задача 3. Нужно сравнить два угла наложением и установить, какой больше. Не будем сравнивать длину нарисованных сторон: она может отличаться из-за чертежа. Сравнивать нужно раскрытие углов, поэтому сначала совместим их вершины, а затем расположим по одной стороне друг относительно друга. После этого положение оставшихся сторон покажет результат.

1. Выбираем один угол и мысленно переносим его так, чтобы его вершина совпала с вершиной второго.
2. Совмещаем по одной стороне, направив её вдоль соответствующей стороны другого угла.
3. Смотрим на оставшиеся стороны: если они совпали, углы равны; если одна оказалась внутри другого угла, этот угол меньше.

Ответ: больше тот угол, чья оставшаяся сторона расположена дальше от общей стороны; если стороны совпали, углы равны. При наложении важно совместить вершины и одну сторону, иначе сравнение будет неточным. Длину сторон при выводе не учитывают.

Типичные ошибки

Ошибка: в записи тремя буквами ставят вершину не посередине, например называют угол как ∠BAC, хотя вершина у него A. Так случается, когда буквы просто перечисляют подряд и забывают их роли. Проверьте запись: средняя буква должна совпадать с общим началом лучей. Если это не так, переставьте буквы.

Ошибка: считают, что угол — это только две стороны. Действительно, стороны важны, но определение описывает фигуру, образованную лучами с общим началом. Такое упрощение может привести к тому, что забывают о вершине и смешивают угол с двумя отдельными лучами. Чтобы проверить себя, назовите и оба луча, и их общее начало.

Ошибка: используют одну букву для угла, хотя у вершины изображено несколько углов. Причина в том, что вершина у них общая и кажется, будто её названия достаточно. Но по одной букве нельзя понять, какие стороны образуют выбранный угол. Добавьте точки на сторонах и запишите три буквы так, чтобы вершина оказалась посередине.

Ошибка: сравнивают углы по длине нарисованных сторон. Длинные стороны могут зрительно отвлекать, но они не показывают, насколько широко расходятся лучи. Для проверки наложите углы, совместив вершины и по одной стороне, и сравните положение оставшихся сторон. Оценивайте раскрытие, а не размеры линий на чертеже.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться с обозначениями углов, нужно уметь отличать точку, луч и начало луча. Точка показывает положение, а луч начинается в этой точке и продолжается в одном направлении. Ещё пригодится навык чтения буквенных обозначений геометрических фигур: буквы помогают отличать вершины и точки на сторонах. Если внимательно следить за ними, легче правильно назвать угол.

Сравнение углов готовит к изучению их измерения и построения. Сначала можно определить, какой угол больше или равен другому, а затем научиться выражать величину числом и строить угол по заданному условию. Углы также входят в состав геометрических фигур, поэтому умение сравнивать их поможет разбираться в свойствах этих фигур.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Лучи, образующие угол, являются его сторонами.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Если у вершины несколько углов, надёжнее обозначать их тремя буквами.
• Углы сравнивают наложением: совмещают вершины и одну сторону.
• Если соответствующие стороны совпали при наложении, углы равны.