18. Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол можно обозначать тремя буквами, причём букву вершины ставят посередине, например ∠ABC. Это обозначение помогает понять, какие лучи образуют угол.

Градус — единица измерения углов, её обозначают знаком °. Запись 35° читают «тридцать пять градусов»: число показывает величину угла, а значок указывает единицу измерения. Общая единица нужна, чтобы сравнивать углы и сообщать их величину без длинных описаний.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. На его шкале нанесены деления с числами, а центр обычно отмечен маленькой точкой или риской у прямого края. Шкала помогает отсчитать градусы, а центр — правильно совместить инструмент с вершиной угла.

Градусная мера угла — число градусов, соответствующее величине угла. Её записывают рядом с обозначением угла: например, если угол ABC равен 35°, пишут ∠ABC = 35°. Такая запись позволяет точно передать величину угла и использовать её в вычислениях.

Как это устроено

Углы могут быть узкими или широко раскрытыми, поэтому одного слова «больше» недостаточно, чтобы точно сравнить их. Единая единица измерения позволяет каждому углу сопоставить число. Градус показывает величину поворота одной стороны относительно другой, поэтому измерения можно сравнивать даже тогда, когда углы нарисованы в разных местах или разного размера.

Чтобы транспортир показал угол между сторонами, его центр должен оказаться в вершине: именно там сходятся оба луча. Если поставить центр в другое место, шкала будет отсчитывать поворот не от нужной точки. Одну сторону совмещают с прямым краем транспортира, потому что так легко установить направление начала отсчёта и расположение второй стороны.

У транспортира часто есть две шкалы, на которых числа идут в противоположных направлениях. Сначала найди ноль, совпадающий со стороной угла, от которой ведёшь отсчёт, и выбери шкалу с этим нулём. Затем посмотри, через какое деление проходит другая сторона. Так ты не перепутаешь, например, 40° и 140°.

Чтобы построить угол заданной величины, сначала нужна одна сторона — луч с вершиной в начале. Центр транспортира поставь в начало луча, а нулевое деление совмести с ним: иначе отметка окажется отложена не от вершины или не в нужном направлении. Найди заданное число градусов, поставь отметку и проведи из вершины второй луч через неё. Например, для угла 65° отметь на выбранной шкале деление 65.

Угол можно представить как поворот одной стороны вокруг общей вершины до положения другой стороны. Чем больше поворот, тем шире раскрытие и тем больше величина угла. Длина нарисованных сторон при этом ничего не меняет: короткие и длинные лучи могут образовать один и тот же угол. Поэтому сравнивают направление сторон, а не расстояние от вершины до их концов.

Ориентиры при измерении и сравнении углов

Сначала сравни угол с прямым (90°) и развёрнутым (180°), а затем при необходимости уточни его величину транспортиром. Таблица помогает проверить, подходит ли полученное число к виду угла. Например, мера тупого угла не может быть меньше 90° или достигать 180°.

Разбор задач

Измерьте угол, изображённый в учебнике, и запишите его градусную меру

На рисунке угол образован двумя сторонами, и нужно определить величину между ними. Сам рисунок может быть повёрнут, поэтому сначала найди вершину и выбери сторону для начала отсчёта. Число нужно записать с обозначением градуса.

1. Поставь центр транспортира на вершину угла. Проверь, что стороны угла выходят именно из этой точки.
2. Совмести прямой край и нулевую отметку со стороной, от которой будешь считать. Найди шкалу, где отсчёт начинается с этого нуля.
3. Посмотри, через какое деление проходит вторая сторона. Запиши полученное число со знаком градуса, например 42°.

Ответ: градусная мера равна числу градусов, указанному делением на второй стороне; запиши её в виде ∠ABC = …°. Без самого изображения численное значение определить нельзя. При проверке убедись, что выбранная шкала начинается с нуля у первой стороны.

Постройте угол величиной 65° и проверьте построение измерением

Нужно получить угол с заданной мерой, а не просто приблизительно нарисовать раскрытие. Поэтому отметку 65° откладывают от уже проведённого луча. После построения транспортиром проверяют, что второй луч проходит через нужное деление.

1. Проведи луч и обозначь его начало — это будет вершина угла. Установи центр транспортира на эту точку.
2. Совмести луч с нулевой отметкой. На шкале, которая начинается с этого нуля, найди деление 65 и поставь возле него отметку.
3. Убери транспортир и проведи из вершины луч через отметку. Измерь полученный угол ещё раз, начиная отсчёт от первой стороны.

Ответ: построен угол 65°, если его вторая сторона проходит через отметку 65° при повторном измерении. Проверка нужна, чтобы заметить смещение центра или ошибку при выборе шкалы. Если показание отличается, совмести транспортир заново и поправь второй луч.

Угол ABC имеет меру 120°. Луч BD проходит внутри угла, а угол ABD равен 45°. Найдите меру угла DBC

Луч BD делит угол ABC на два угла: ABD и DBC. Вместе эти части составляют исходные 120°. Поэтому достаточно от целого угла отнять известную часть.

1. Запиши связь частей: ∠ABD + ∠DBC = ∠ABC. Она верна, потому что луч BD проходит внутри угла.
2. Подставь известные меры: 45° + ∠DBC = 120°. Чтобы найти неизвестную часть, вычти 45° из 120°.
3. Вычисли: 120° − 45° = 75°. Проверь сложением: 45° + 75° = 120°.

Ответ: ∠DBC = 75°. Проверка показывает, что две части снова дают исходную меру угла. При таких задачах важно вычитать из целого именно ту часть, которая уже известна.

Типичные ошибки

Центр транспортира поставлен не в вершину. Тогда шкала не измеряет угол между его сторонами: инструмент отсчитывает величину от другой точки. Так ошибаются, когда ориентируются на край или середину рисунка, а не на место соединения лучей. Проверь, что отметка центра точно совпала с вершиной.

Отсчёт начинают не от нужного нуля. Если взять числа от другого края шкалы, ответ не будет отсчитываться от стороны угла. Это случается, когда сторону совместили с транспортиром, но не проследили, где на этой стороне стоит 0°. Найди нулевую отметку у совмещённой стороны и начинай отсчёт там.

Перепутаны две шкалы транспортира. Одинаковое деление может иметь разные числа на внутренней и внешней шкалах. Ошибка появляется, если выбрать цифру, не проверив направление возрастания. Убедись, что числа идут от нуля у первой стороны к делению у второй.

Величину угла связывают с длиной сторон. Длинный нарисованный луч не делает угол больше, а короткий — меньше: значение определяется раскрытием между лучами. Такое заблуждение возникает, когда сравнивают рисунки по длине линий. Проверь угол, мысленно укоротив или продолжив лучи: направления останутся теми же, значит, величина не изменится.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно уметь узнавать луч, вершину и стороны угла, а также пользоваться линейкой. При измерении пригодится навык чтения шкал: нужно находить нулевую отметку и правильно отсчитывать деления. Измерение углов понадобится при построении геометрических фигур и изучении треугольников. Оно также помогает решать задачи, где известна величина целого угла или его частей.

Что запомнить

• Угол измеряют в градусах.
• Знак градуса записывают после числа: 65°.
• При измерении центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Одну сторону угла совмещают с нулевой отметкой транспортира.
• Отсчёт ведут от нуля, совпадающего с этой стороной.
• При построении угла заданной меры отмечают нужное деление и проводят через него второй луч.