5.2. Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом; общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла ABC вершина — точка B, а стороны — лучи BA и BC. Это определение помогает узнавать угол на чертеже и правильно называть его части.

Градус — единица измерения углов; полный оборот составляет 360°. Представь, что луч повернулся вокруг своего начала и вернулся в прежнее положение: он совершил полный оборот. Это значение служит общей мерой, с которой сравнивают разные углы.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее величину угла; её записывают рядом с обозначением угла, например ∠ABC = 45°. Знак ° означает «градусов», а запись сообщает, насколько раскрыты стороны угла. Такая мера позволяет сравнивать углы и выполнять вычисления.

Транспортир — инструмент для измерения углов и построения угла заданной градусной меры. На нём есть центр, нулевая отметка и шкала с делениями в градусах. По этим отметкам можно узнать величину уже начерченного угла или точно провести его стороны.

Как это устроено

При сравнении углов важен поворот от одной стороны к другой. Длина сторон может быть разной, но если лучи направлены одинаково, раскрытие между ними не меняется. Поэтому длинный и короткий углы на рисунке могут иметь одну меру: размер изображения и длины лучей не определяют величину угла.

Чтобы измерять углы, нужно договориться об общей единице. Полный оборот делят на 360 равных частей, и одну такую часть принимают за градус. Чем больше поворот между сторонами, тем больше градусов содержит угол; число градусов записывают со знаком °, например 90°.

Перед измерением положи транспортир так, чтобы его центр оказался точно над вершиной угла. Нулевую отметку совмести с одной стороной. Это нужно, чтобы отсчёт начинался именно от направления первой стороны: если центр смещён или ноль не совпадает, шкала покажет не величину данного угла.

На транспортире обычно нанесены две шкалы, которые идут в противоположных направлениях. Выбирай ту, где ноль находится у стороны, от которой начинаешь измерение. Затем найди место, где другая сторона пересекает шкалу, и прочитай число градусов. Если смотреть на другую шкалу, можно принять дополнительный угол за нужный.

Когда луч проходит внутри угла и делит его на две части, эти части вместе составляют целый угол. Поэтому градусную меру целого угла находят сложением мер обеих частей. Это правило удобно, если отдельные части известны, а транспортиром весь угол измерить нельзя или не требуется.

Как измерять и строить углы транспортиром

Пользуйся строками таблицы по порядку: сначала правильно расположи транспортир, затем измерь угол или отметь нужное деление. При сомнении в шкале проверь, с какой стороны стоит ноль. В конце ещё раз проверь совпадение центра и сторон с отметками.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дан угол ABC. Измерьте его транспортиром и запишите результат. Числового значения по одному тексту условия узнать нельзя: оно зависит от самого чертежа. Поэтому важно выполнить измерение по правилам, а результат прочитать на шкале у второй стороны.

1. Определи вершину угла: это точка B. Положи центр транспортира на B и совмести нулевую отметку со стороной BA.
2. Посмотри, где сторона BC пересекает шкалу. Выбери шкалу, которая начинается с 0° у BA, чтобы не прочитать число в обратном направлении.
3. Запиши найденное число со знаком градусов как ∠ABC = …°. Проверь, что прочитал отметку именно у BC, а центр прибора не сместился с вершины.

Ответ: ∠ABC равен числу градусов, показанному транспортиром у стороны BC. Подставь вместо многоточия значение с имеющегося чертежа.

Задача 2. Постройте угол в 65° с вершиной O и одной заданной стороной OA. Нужно оставить заданную сторону на месте и провести второй луч так, чтобы раскрытие угла составляло 65°. Транспортир поможет отметить направление этого луча.

1. Поставь центр транспортира в точку O. Совмести отметку 0° с лучом OA и выбери шкалу, отсчёт которой начинается от этого луча.
2. Найди на шкале деление 65° и поставь рядом с ним небольшую отметку. Убедись, что она находится со стороны, где должен располагаться новый луч.
3. Убери транспортир и проведи из O через отметку луч. Назови его, например, OB, а полученный угол запиши как ∠AOB = 65°.

Ответ: построен угол ∠AOB = 65°. Проверь его, приложив транспортир: центр должен совпасть с O, а лучи OA и OB — с нулевой отметкой и делением 65°.

Задача 3. Луч OC проходит внутри угла AOB. Известно, что ∠AOC = 38°, а ∠COB = 47°. Найдите ∠AOB. Луч OC делит угол на две части, значит, для ответа нужно сложить их меры. Здесь обе части образуют именно угол AOB.

1. Запиши меры двух частей: ∠AOC = 38° и ∠COB = 47°. Проверь по условию, что луч OC проходит внутри ∠AOB.
2. Сложи меры частей: 38° + 47° = 85°. Сложение подходит, потому что части вместе составляют весь угол.
3. Запиши результат с обозначением угла и единицей измерения. Не забудь знак градусов.

Ответ: ∠AOB = 85°. Полученное число больше каждой части, что согласуется с тем, что целый угол включает обе части.

Типичные ошибки

Если центр транспортира не совпадает с вершиной, деления отсчитываются от другой точки, и результат получается неверным. Так случается, когда инструмент кладут приблизительно или не придерживают при измерении. Перед чтением шкалы проверь, что точка-вершина находится точно у центральной отметки.

Можно начать отсчёт не от нуля или прочитать не ту шкалу. Это легко сделать, потому что на транспортире часто есть две шкалы с числами, идущими в разные стороны. Найди нулевую отметку на стороне угла, а затем посмотри, где именно вторая сторона пересекает эту шкалу.

Иногда считают, что угол станет больше, если удлинить его стороны. Ошибку вызывает вид рисунка: длинные лучи могут занимать больше места на бумаге. Но мера зависит от раскрытия между направлениями сторон, поэтому сравнивай их поворот, а не длину; удлинение лучей не меняет градусную меру.

При сложении мер частей важно, чтобы разделяющий луч проходил внутри угла. Если части не составляют нужный угол, складывать их меры нельзя, даже если у них есть общая вершина или сторона. Перед вычислением проверь по чертежу или условию, что обе части вместе образуют именно тот угол, который требуется найти.

Связь с другими темами

Чтобы измерять углы, нужно узнавать луч и понимать, где находится его начало. Также важно уметь читать чертёж и различать положение геометрических фигур на плоскости. Эти знания помогают правильно определить вершину и стороны угла.

Транспортир пригодится при построении геометрических фигур и изучении видов углов. Умение находить меру частей угла помогает решать задачи, в которых известны не все углы целиком. Поэтому правила измерения и сложения мер понадобятся и в следующих темах геометрии.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Меру угла записывают в градусах.
• Полный оборот равен 360°.
• При измерении центр транспортира совмещают с вершиной угла.
• Отсчёт ведут от нуля на стороне угла.
• Мера целого угла равна сумме мер его частей.