"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Ломаная состоит из отрезков, соединённых последовательно концами. Отрезки называют звеньями, а точки их соединения — вершинами. Ломаная бывает открытой или замкнутой: у замкнутой начало и конец совпадают. Замкнутая ломаная без самопересечений вместе с областью внутри неё образует многоугольник. Чтобы найти длину ломаной или периметр многоугольника, складывают длины всех звеньев или сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная — фигура из отрезков, последовательно соединённых концами. Она образуется так: конец одного отрезка совпадает с началом следующего. Ломаная нужна, чтобы изображать путь, границу или линию, состоящую из нескольких прямых частей.
Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. Соседние звенья соединяются в общих точках, которые называют вершинами. По звеньям удобно находить длину всей ломаной.
Вершина ломаной — точка соединения двух соседних звеньев. У открытой ломаной есть начальная вершина и конечная вершина, причём это разные точки. Вершины обозначают буквами, чтобы записывать ломаную по порядку.
Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений вместе с частью плоскости внутри неё. Звенья такой ломаной называют сторонами многоугольника, а точки их соединения — вершинами. По числу сторон получают треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и другие фигуры.
Чтобы построить ломаную, сначала отмечают точки в нужном порядке, например A, B, C и D. Затем соединяют отрезками каждую соседнюю пару: A с B, B с C, C с D. Нельзя пропускать точку или соединять только первую и последнюю, потому что тогда получится другая фигура.
По записи ABCD легко определить состав ломаной. Между четырьмя соседними по записи вершинами находятся три пары, поэтому звенья — AB, BC и CD, а вершины — A, B, C и D. У открытой ломаной число звеньев на одно меньше числа вершин: последнее звено соединяет предпоследнюю и последнюю точки.
Открытая ломаная не возвращается в точку, с которой началось построение, поэтому её начало и конец не совпадают. У замкнутой ломаной последнее звено соединяет конечную вершину с начальной. Такая линия полностью замыкает границу, поэтому у неё можно выделить область внутри.
Не всякая замкнутая ломаная является многоугольником. Если её несоседние звенья пересекаются, граница проходит сама через себя, и обычную внутреннюю область нельзя выделить однозначно. Поэтому перед тем как назвать фигуру многоугольником, проверяют, нет ли самопересечений.
Длину ломаной находят сложением длин всех её звеньев, потому что она состоит именно из этих частей. Например, для звеньев 4 см и 7 см длина равна 4 см + 7 см = 11 см. У многоугольника звенья являются сторонами, поэтому сумма длин сторон называется его периметром.
| Признак | Открытая ломаная | Замкнутая ломаная | Многоугольник |
|---|---|---|---|
| Совпадают ли начальная и конечная вершины | Нет | Да | Да |
| Как соединены звенья | Последовательно, без возвращения в начало | Последнее звено возвращается в начальную вершину | Образуют замкнутую границу без самопересечений |
| Есть ли замкнутая внутренняя область | Нет | Может быть область, но при самопересечении она не становится обычной областью многоугольника | Да |
| Что складывают для нахождения длины или периметра | Длины всех звеньев | Длины всех звеньев | Длины всех сторон |
Сначала определите, совпадают ли начальная и конечная вершины. Затем проверьте, нет ли пересечений, и только после этого решайте, можно ли назвать фигуру многоугольником.
Последняя строка помогает выбрать вычисление: для ломаной складывают звенья, а для многоугольника — стороны. В замкнутой ломаной стороны многоугольника совпадают с её звеньями.
Ломаная ABC состоит из двух звеньев: AB = 4 см и BC = 7 см. Нужно найти длину всей ломаной, поэтому учитываем оба звена, а не только самое длинное.
Ответ: длина ломаной равна 11 см.
Пятиугольник имеет пять сторон длиной 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см. Периметр показывает длину всей замкнутой границы, поэтому нужно сложить длины всех пяти сторон.
Ответ: периметр пятиугольника равен 22 см.
Периметр четырёхугольника равен 26 см, а три стороны имеют длины 5 см, 7 см и 8 см. Сначала найдём, сколько сантиметров занимают известные стороны, затем уберём эту сумму из периметра.
Ответ: длина четвёртой стороны равна 6 см.
Забывают начальную или конечную точку. Иногда вершинами считают только места поворота, потому что именно там заметно соединение звеньев. Но у открытой ломаной начальная и конечная точки тоже являются вершинами. Проверьте себя, перечислив все точки записи по порядку.
Путают число звеньев и вершин. В записи ABCD четыре вершины, но только три звена. Чтобы не ошибиться, считайте пары соседних букв; у открытой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин.
Любую замкнутую ломаную называют многоугольником. Такое происходит, если проверяют только совпадение начала и конца. Осмотрите фигуру и убедитесь, что несоседние звенья не пересекаются.
Складывают не все звенья или стороны. При подсчёте иногда пропускают короткую сторону или повторно считают одну и ту же. Подпишите длину каждого звена, сложите все записи и сравните результат с условием.
Для изучения ломаных нужны знания об отрезке, точке и концах отрезка. Также важно уметь измерять длину и складывать величины, записанные в одинаковых единицах.
Периметр многоугольника пригодится при изучении геометрических фигур. Он помогает решать задачи о длине границ участков, дорожек и других объектов.
Чем ломаная отличается от одного отрезка?
Отрезок — это часть прямой с двумя концами. Ломаная состоит из нескольких отрезков-звеньев, соединённых концами, поэтому её направление может изменяться.
Как определить число звеньев и вершин ломаной?
Нужно посмотреть на запись вершин по порядку и посчитать отрезки между соседними буквами. Например, ABCD означает три звена: AB, BC и CD, и четыре вершины: A, B, C и D.
Может ли ломаная пересекать саму себя?
Да, у ломаной могут пересекаться несоседние звенья. Но такая замкнутая ломаная не считается обычным многоугольником, потому что её внутренняя область устроена неоднозначно.
Любая ли замкнутая ломаная является многоугольником?
Нет. Замкнутая ломаная становится многоугольником только тогда, когда её звенья не пересекаются друг с другом, кроме соседних звеньев в общих вершинах.
Как найти длину ломаной и периметр многоугольника?
Длину ломаной находят сложением длин всех её звеньев. Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.
5.3. Ломаные и многоугольники
