3.10. Ломаные и многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из отрезков, в которой конец каждого отрезка, кроме последнего, является началом следующего. Иначе говоря, отрезки идут один за другим и соединяются концами. Это определение помогает отличить ломаную от набора отрезков, которые никак не связаны между собой.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых она составлена. Например, если ломаная состоит из трёх отрезков, у неё три звена. Это слово нужно, чтобы отдельно говорить о каждом участке фигуры и находить его длину.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев. У незамкнутой ломаной также есть начало — первая точка — и конец — последняя точка; они не являются точками соединения двух звеньев. Слово «вершина» помогает считать точки соединения и не путать их с самими отрезками.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Звенья ломаной становятся сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника. Это определение связывает два понятия и позволяет находить периметр многоугольника по длинам его сторон.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, расположи несколько отрезков так, чтобы конец одного совпал с началом следующего. В точке такого соединения встречаются два соседних отрезка, поэтому она является их общей вершиной. Если отрезки не соединены концами, они не образуют одну ломаную: между ними есть разрыв. Последовательность соединений позволяет пройти по фигуре от одного её конца к другому.

У ломаной можно сравнить первую и последнюю точки. Если они разные, получится открытая фигура с двумя концами — это незамкнутая ломаная. Если первая точка совпадает с последней, путь возвращается туда, откуда начался, и фигура замыкается. Поэтому у замкнутой ломаной нет разрыва: её звенья образуют непрерывный контур.

Число вершин зависит от того, замкнута ломаная или нет. У незамкнутой ломаной есть по одной конечной вершине с каждого края, а между звеньями — точки соединения. Поэтому при подсчёте получается на одну вершину больше, чем звеньев: например, три звена дают четыре вершины. У замкнутой ломаной отдельные начало и конец совпадают, поэтому каждая вершина служит соединением двух звеньев, и количества вершин и звеньев равны.

Когда замкнутая ломаная ограничивает часть плоскости, получается многоугольник. Каждый отрезок контура считается одной стороной, а каждая точка соединения сторон — вершиной. Сколько сторон образует контур, столько у многоугольника и вершин: например, у фигуры с пятью сторонами пять вершин. Поэтому по числу сторон можно определить число вершин, и наоборот.

Длину ломаной находят, складывая длины всех её звеньев: путь состоит из этих участков, а не из прямого расстояния между его концами. Для этого сначала проверь, что длины указаны в одинаковых единицах, и затем сложи их. У многоугольника действует тот же способ: его периметр — сумма длин всех сторон. Нельзя пропускать даже короткую сторону, потому что она тоже входит в контур.

Сравнение ломаных и многоугольника

Сначала посмотри, замкнут ли контур: это помогает отличить открытую ломаную от замкнутой. Затем определи, что требуется найти: число звеньев, вершин или длину. Для многоугольника длину всего контура называют периметром.

Разбор задач

Задача 1

Ломаная состоит из трёх последовательно соединённых отрезков. Сколько у неё вершин, если она незамкнутая? Нужно учесть не только точки, в которых отрезки соединяются, но и оба конца ломаной. У незамкнутой ломаной число вершин на одну больше числа звеньев.

1. Определяем число звеньев: их три.
2. Прибавляем один, потому что у незамкнутой ломаной есть две конечные вершины, а точки соединения звеньев дают остальные вершины.
3. Получаем 3 + 1 = 4 вершины.

Ответ: 4 вершины.

Задача 2

Длины звеньев ломаной равны 4 см, 6 см и 3 см. Найти длину ломаной. Длина всей фигуры складывается из длины каждого её участка, поэтому надо использовать все три числа. Сложение удобно выполнить по порядку.

1. Записываем длины всех звеньев: 4 см, 6 см и 3 см.
2. Складываем первые две длины: 4 + 6 = 10 см.
3. Прибавляем длину последнего звена: 10 + 3 = 13 см.

Ответ: 13 см.

Задача 3

У многоугольника пять сторон длиной 3 см, 4 см, 4 см, 5 см и 6 см. Нужно найти периметр и число вершин. Периметр — это общая длина всех сторон, поэтому складываем каждую указанную длину один раз. Число вершин многоугольника равно числу его сторон.

1. Проверяем, что все длины даны в одинаковых единицах: здесь они указаны в сантиметрах.
2. Складываем длины сторон: 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 см.
3. Считаем стороны: их пять, значит, вершин тоже пять.

Ответ: периметр равен 22 см, у многоугольника 5 вершин.

Типичные ошибки

Иногда считают, что у незамкнутой ломаной столько же вершин, сколько звеньев. Так происходит, если учитывать только места соединения отрезков и забыть про два конца фигуры. Проверь себя: отметь все точки по ходу ломаной, начиная с одного конца; у трёх звеньев получится четыре вершины.

Звено и вершина — не одно и то же: звено является отрезком, а вершина — точкой. Их путают, потому что отрезок заканчивается в вершине и эти понятия встречаются рядом. Для проверки спроси себя, можно ли измерить названный объект как длину: длину измеряют у звена, а вершина сама по себе — точка.

Ломаную иногда называют замкнутой, хотя её концы лишь близко расположены. Так ошибаются, если ориентируются на вид почти готового контура, а не проверяют точное соединение. Проведи пальцем путь от начала до конца: замкнутая ломаная возвращается в ту же точку, а небольшой зазор означает, что она незамкнутая.

При вычислении длины можно случайно пропустить звено или сторону, особенно если два отрезка имеют одинаковую длину. Чтобы проверить сумму, перечисли все участки по порядку и поставь отметку напротив каждого после включения в вычисление. Число слагаемых должно совпасть с числом звеньев или сторон, а единицы измерения в ответе должны быть записаны.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и как измеряется его длина. Без этого нельзя определить, какие части фигуры соединены, и правильно сложить длины её звеньев. Если все отрезки измерены в одинаковых единицах, их длины удобно складывать.

Тема пригодится при изучении периметра многоугольников и в задачах о длине контура. Периметр находят, складывая длины сторон, поэтому умение считать звенья и не пропускать участки помогает получить верный ответ. Такие же рассуждения подходят для маршрута, который состоит из нескольких прямых отрезков.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями, точки их соединения — вершинами.
• У незамкнутой ломаной начало и конец различны.
• У замкнутой ломаной начало совпадает с концом.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• У многоугольника число сторон равно числу вершин.