3.9. Углы. Измерение углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной угла. Например, если лучи выходят из точки O, они образуют угол с вершиной O. Это определение помогает увидеть угол на чертеже и понять, какие части фигуры нужно рассматривать.

Вершина угла — общая точка, из которой начинаются оба луча. Её обозначают заглавной буквой, например O. Буква позволяет отличить вершину от других точек чертежа и правильно назвать угол.

Стороны угла — лучи, которые его образуют. Угол часто обозначают тремя заглавными буквами, например ∠AOB: буква вершины O стоит посередине, а A и B обозначают точки на сторонах. Такое обозначение показывает и вершину, и оба луча.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее величину поворота между его сторонами. Её записывают числом и знаком градуса: например, 60°. По градусной мере сравнивают углы и определяют их вид.

Как это устроено

Угол можно представить как поворот одного луча вокруг его начала до совпадения со вторым лучом. Величина угла показывает, насколько далеко повернулся луч, а направление помогает понять, какую часть поворота рассматривают. Поэтому одного названия сторон недостаточно, чтобы узнать, насколько угол раскрыт: для этого нужна его градусная мера.

Единица измерения углов — градус, который обозначают знаком °. Развёрнутый угол принимают за поворот на 180° и делят на 180 равных частей. Каждая такая часть составляет 1°. Благодаря общей единице можно измерять углы и сравнивать результаты, даже если они изображены на разных чертежах.

Для измерения используют транспортир — прибор с делениями по дуге. Сначала его центр совмещают с вершиной угла, потому что отсчёт должен идти именно от точки, где начинаются стороны. Затем нулевую отметку располагают на одной стороне, а градусную меру считывают там, где вторая сторона пересекает шкалу. Если центр смещён, лучи пересекут деления не в тех местах и результат окажется неточным.

На транспортире обычно нанесены две шкалы, поэтому одно и то же место может соответствовать разным числам. Чтобы не ошибиться, найди сторону, лежащую на нулевой отметке, и читай шкалу, которая начинается с нуля у этой стороны. Например, если ноль расположен слева, отсчёт начинай по шкале, у которой слева стоит 0°. Так показание будет соответствовать направлению поворота от выбранной стороны.

Вид угла определяют по его градусной мере, сравнивая её с 90° и 180°. Прямой угол равен 90°, а развёрнутый — 180°. Острый угол меньше 90°, поэтому он уже прямого; тупой больше 90°, но меньше 180°, поэтому он шире прямого, но не образует развёрнутого угла. Такое сравнение помогает классифицировать угол даже без названия его сторон.

Виды углов и их градусные меры

Чтобы определить вид угла, найди его градусную меру и сравни с числами 90 и 180. Например, мера 45° меньше 90°, значит, угол острый. Примеры в таблице показывают типичные значения, но угол каждого вида может иметь и другую меру, подходящую под сравнение.

Разбор задач

На рисунке угол с вершиной O образован лучами OA и OB. Нужно записать его обозначение и назвать вершину и стороны. Начнём с общей точки лучей: именно она определяет вершину. Затем поставим её букву посередине обозначения, чтобы запись не перепуталась.

1. Определяем, что оба луча начинаются в точке O, поэтому O — вершина угла.

2. Записываем обозначение ∠AOB: буква O стоит посередине, а A и B относятся к сторонам.

3. Называем стороны угла: это луч OA и луч OB.

Ответ: ∠AOB; вершина — O; стороны — лучи OA и OB.

Измерим угол на чертеже транспортиром и решим, острый он, прямой или тупой. Поскольку на чертеже угол может быть наклонён, сначала нужно ориентироваться не на его положение, а правильно приложить прибор. После измерения сравним результат с 90°: это позволит определить вид.

1. Поставим центр транспортира точно на вершину угла и совместим нулевую отметку с одной из его сторон.

2. Выберем шкалу, которая начинается с нуля у этой стороны, и прочитаем число у пересечения второй стороны со шкалой. Например, если получили 70°, записываем меру угла как 70°.

3. Сравним число с 90°: 70° меньше 90°, поэтому угол острый. Если бы получилось ровно 90°, угол был бы прямым, а при значении между 90° и 180° — тупым.

Ответ для измерения 70°: угол острый. На своём чертеже укажи фактически полученное число и по нему назови вид угла.

Построим угол в 125° и проверим результат. Сначала зададим вершину и одну сторону, а затем используем транспортир, чтобы отметить направление второго луча. Так мы не угадываем раскрытие угла по виду, а откладываем точную меру.

1. Обозначим точку O вершиной и проведём из неё первый луч OA. Приложим транспортир так, чтобы его центр оказался в O, а нулевая отметка совпала с лучом OA.

2. На нужной шкале найдём отметку 125° и поставим рядом точку B. Проверим, что отсчёт начинается от нуля у луча OA, иначе отметка окажется не на том направлении.

3. Проведём из O через B второй луч OB. Для проверки снова измерим угол транспортиром: его стороны должны показать 125°.

Ответ: построен угол ∠AOB, равный 125°. Так как 125° больше 90°, но меньше 180°, он тупой.

Типичные ошибки

При измерении иногда считывают значение не с той шкалы. Это происходит потому, что на транспортире рядом нанесены две шкалы с разными направлениями отсчёта. Проверь себя: у стороны, совмещённой с нулевой отметкой, на выбранной шкале должно стоять 0°.

Если центр транспортира поставлен не на вершину, измерение будет неточным. Ошибка возникает, когда прибор сдвинут или его центр принимают за произвольную точку рядом с вершиной. Перед отсчётом проверь, что центр находится точно в общей точке начала лучей.

Можно перепутать вершину и стороны или поставить букву вершины не посередине обозначения. Так случается, если не найти общую точку лучей до записи угла. Проверь себя: средняя буква в обозначении должна называть вершину, а две другие — точки на сторонах.

Некоторые считают, что угол становится больше, если удлинить нарисованные стороны. Путают размер рисунка с величиной поворота между лучами. Для проверки сравни направления лучей: если они не изменились, мера угла тоже не изменится, даже если лучи стали длиннее.

Связь с другими темами

Чтобы изучать углы, нужно знать, что такое луч, и уметь находить его начало и направление. Луч начинается в одной точке и продолжается в выбранную сторону, поэтому именно два луча могут образовать угол. Если перепутать начало луча или его направление, можно неверно определить вершину и стороны угла.

Измерение и построение углов пригодятся при изучении геометрических фигур, треугольников и чертежей. Градусная мера помогает сравнивать раскрытие углов в разных фигурах, а транспортир — точно переносить нужный угол на рисунок. Эти умения делают геометрические построения понятными и аккуратными.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Градус — единица измерения углов.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Прямой угол равен 90°.
• Для измерения и построения углов используют транспортир.