2.2. Ломаные и многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Каждый следующий отрезок начинается там, где заканчивается предыдущий. У ломаной есть звенья, вершины и два конца; по ним можно описать её форму и направление.

Звено ломаной — каждый отрезок, из которого она составлена. Соседние звенья соединяются в общей точке, поэтому конец одного звена становится началом другого. Зная длины всех звеньев, можно найти длину всей ломаной.

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называют сторонами многоугольника, а точки их соединения — вершинами. Так связь границы с самой фигурой помогает определить её форму и число сторон.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Стороны являются звеньями замкнутой ломаной, поэтому для нахождения периметра складывают длины именно этих звеньев. Периметр обозначают буквой P.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, проводят первый отрезок, затем из его конца проводят второй. Следующий отрезок снова начинают в конце предыдущего, иначе отрезки не образуют одну непрерывную фигуру. Так последовательно появляются звенья, а места их соединения становятся вершинами.

У незамкнутой ломаной первый и последний концы не соединены, поэтому её можно пройти от одного конца до другого и не вернуться в исходную точку. У замкнутой ломаной последний отрезок заканчивается там же, где начинался первый. Благодаря этому звенья образуют границу, которая отделяет часть плоскости от остальной плоскости.

Когда ломаная замыкается, её звенья становятся сторонами многоугольника. Точки, где встречаются две соседние стороны, называют вершинами многоугольника, потому что именно они задают его углы и форму. Поэтому число сторон и число вершин замкнутой ломаной обычно одинаково.

Число звеньев удобно находить, считая отрезки по очереди. В незамкнутой ломаной при подсчёте всех точек получается на одну точку больше, чем звеньев: например, четыре звена имеют пять точек от начала до конца. В замкнутой ломаной последняя точка совпадает с первой, поэтому число звеньев равно числу вершин.

Длину ломаной находят сложением длин всех её звеньев, потому что путь состоит из этих отрезков целиком. Для многоугольника выполняют такое же действие, но говорят о периметре и его сторонах. Нельзя измерять только прямое расстояние между концами ломаной: это был бы другой отрезок, а не длина пути по звеньям.

Сравнение ломаной и многоугольника

Пользуйтесь таблицей сначала для проверки вида фигуры: выясните, совпадают ли её начало и конец. Затем определите, как называются отрезки, и выберите правильное правило вычисления длины.

Если замкнутая ломаная ограничивает часть плоскости, её звенья рассматривают как стороны многоугольника. Значит, длина этой границы одновременно является периметром многоугольника.

Разбор задач

Задача 1

Ломаная состоит из четырёх звеньев длиной 3 см, 5 см, 4 см и 6 см. Требуется найти её длину и число вершин. Ломаная в условии не названа замкнутой, поэтому считаем её незамкнутой и учитываем оба конца.

1. Складываем длины всех звеньев: 3 + 5 + 4 + 6 = 18 см.
2. Четыре звена соединяются в трёх внутренних точках.
3. Добавляем два крайних конца: 3 + 2 = 5 точек.

Ответ: длина ломаной — 18 см, всего 5 вершинных точек; из них 3 внутренние вершины и 2 конца.

Задача 2

Стороны фигуры имеют длины 4 см, 4 см, 6 см и 7 см. Нужно проверить, является ли фигура многоугольником, и найти её периметр. По одним длинам нельзя проверить замкнутость, поэтому используем условие, что данные стороны образуют замкнутую ломаную.

1. Проверяем признак многоугольника: начальная и конечная точки должны совпадать.
2. Так как стороны образуют замкнутую ломаную, фигура является многоугольником с четырьмя сторонами.
3. Складываем длины сторон: 4 + 4 + 6 + 7 = 21 см.

Ответ: да, при указанном условии это многоугольник; его периметр равен 21 см.

Задача 3

Периметр пятиугольника равен 32 см, четыре стороны имеют длины 6 см, 7 см, 8 см и 5 см. Неизвестна длина пятой стороны. Поскольку периметр складывается из всех пяти сторон, известные длины и неизвестная сторона вместе должны дать 32 см.

1. Находим сумму известных сторон: 6 + 7 + 8 + 5 = 26 см.
2. Вычитаем её из периметра: 32 − 26 = 6 см.
3. Проверяем: 6 + 7 + 8 + 5 + 6 = 32 см.

Ответ: длина пятой стороны — 6 см. Фигура должна быть замкнутой, потому что только замкнутая граница образует пятиугольник и позволяет говорить о его периметре.

Типичные ошибки

Не учитывают концы незамкнутой ломаной. Вершинами ошибочно считают только внутренние точки соединения, потому что именно там заметны повороты. Проверьте себя: при подсчёте всех точек у незамкнутой ломаной должно быть на одну больше, чем звеньев.

Путают число звеньев и вершин. У незамкнутой ломаной четыре звена соединяют пять точек, а не четыре. Полезно сначала поставить точки от начала к концу, а затем отдельно пересчитать отрезки.

Называют любую ломаную многоугольником. Такая ошибка появляется, если не проверяют, соединён ли последний конец с первым. Проведите мысленно путь по границе: если в исходную точку вернуться нельзя, это незамкнутая ломаная.

Складывают длины неполностью или дважды. При подсчёте можно пропустить короткое звено или повторно учесть сторону в месте поворота. Отметьте каждый отрезок по очереди и после сложения сравните количество с числом звеньев или сторон.

Связь с другими темами

Для изучения ломаных нужны знания об отрезке, его концах, длине, единицах измерения и сложении величин. Эти умения позволяют вычислять длину границы без дополнительных правил.

Тема пригодится при нахождении периметров и площадей фигур, построении геометрических чертежей и решении задач на длины. Позже ломаные будут связаны с координатным методом: по координатам точек можно находить расстояния между ними и длины звеньев.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Каждый отрезок ломаной называют её звеном.
• Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Стороны многоугольника являются звеньями ограничивающей его ломаной.
• Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.