2.1. Отрезки, лучи, прямые

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают заглавными буквами, например A и B. Сам отрезок записывают как AB или BA: порядок здесь не меняет объект, потому что его границы те же.

Луч — часть прямой, имеющая начало и не имеющая конца. Его обозначают двумя буквами, например луч AB, причём первая буква A показывает начало. Поменять буквы местами нельзя: луч BA начинается уже в другой точке и направлен иначе.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. На чертеже её изображают линией со стрелками в обе стороны, а обозначают двумя любыми точками на ней, например прямой AB. Буквы здесь не указывают границы, а только помогают назвать объект.

Концы отрезка и начало луча — это точки, определяющие границы этих объектов. У отрезка таких точек две, а у луча одна: от неё начинается бесконечное продолжение. Поэтому по первой букве можно понять начало луча, а по двум буквам отрезка — его концы.

Как это устроено

Представим бесконечную прямую линию. Если выбрать на ней две точки и оставить только часть между ними, получится отрезок: выбранные точки станут его концами. Если выбрать одну точку, а линию продолжить от неё только в одном направлении, получится луч. Значит, отрезок и луч получают из прямой добавлением границ.

Объекты отличаются протяжённостью, потому что у них разное число граничных точек. Отрезок ограничен с двух сторон и потому имеет конечную длину. Луч ограничен только в начале, поэтому вторая его часть уходит бесконечно далеко. У прямой нет границ, и она продолжается в обе стороны.

Отрезок обозначают буквами его концов: AB. Луч обозначают началом и другой точкой на нём: луч AB начинается в A и идёт через B. Прямую можно назвать по любым двум точкам, лежащим на ней. У луча порядок букв задаёт направление, поэтому записи AB и BA нельзя считать одинаковыми.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка объекту, сначала смотрят, лежит ли она на его линии. Для отрезка точка должна находиться между концами или совпадать с одним из них. Для луча она должна находиться в его начале либо на продолжении от начала в нужную сторону. Для прямой подходит любая точка на этой линии.

Длину можно измерить у отрезка, потому что он заканчивается в двух определённых точках. У луча и прямой нет конечной границы: их продолжение не прекращается. Поэтому говорят о длине отрезка, а не о конечной длине всей прямой или луча. На них можно измерять расстояния между отдельными точками или длины расположенных на них отрезков.

Сравнение отрезка, луча и прямой

В таблице сначала найдите свойство, которое нужно сравнить, а затем просмотрите соответствующую строку. Особое внимание обращайте на число граничных точек и направление продолжения. Так легче не перепутать обозначение объекта с его свойствами.

Разбор задач

Задача 1. На одной линии отмечены точки A, B и C. Назовите все отрезки, лучи и прямую, которые можно обозначить этими буквами. Предположим, что точки различны и лежат на одной прямой.

1. Любые две отмеченные точки задают отрезок, поэтому получаем AB, AC и BC. Обратные записи BA, CA и CB называют те же отрезки.
2. Каждая точка может быть началом луча, а второй буквой выбирают другую точку. Поэтому возможны лучи AB, AC, BA, BC, CA и CB.
3. Все три точки лежат на одной линии, значит, прямую можно обозначить любой парой: AB, AC или BC. Эти записи называют одну и ту же прямую.

Ответ: отрезки AB, AC, BC; лучи AB, AC, BA, BC, CA, CB; одна прямая, которую можно назвать AB, AC или BC.

Задача 2. Точка C лежит между точками A и B. Сравните отрезки AC, CB и AB и объясните их связь. Здесь нельзя определить, какой из AC и CB длиннее, пока не известны расстояния от C до A и B.

1. Отрезок AB разделён точкой C на две части: AC и CB.
2. Длины частей складываются, поэтому длина всего отрезка равна сумме длин частей: AB = AC + CB.
3. Следовательно, AB длиннее каждой части отдельно, а сравнение AC и CB зависит от положения точки C.

Ответ: AB = AC + CB; отрезок AB больше AC и CB, а AC и CB сравнивают по их конкретным длинам.

Задача 3. На прямой точки A, B, C, D расположены в указанном порядке. Запишите лучи с началом в B, проходящие через остальные точки, и определите совпадающие лучи. Нужно учитывать не только начало, но и сторону, в которую направлен луч.

1. Через точки A, C и D из начала B проходят лучи BA, BC и BD.
2. Точки C и D находятся по одну сторону от B, поэтому лучи BC и BD направлены одинаково и совпадают.
3. Точка A находится по другую сторону, значит, BA — отдельный луч.

Ответ: лучи BA, BC и BD; лучи BC и BD совпадают, а BA им не совпадает.

Типичные ошибки

Ошибка: считать лучи AB и BA одним объектом. Так происходит, когда забывают о направлении луча. Проверьте первую букву: она должна совпадать с началом луча.

Ошибка: считать, что у прямой есть два конца из-за краёв страницы. Страница лишь ограничивает рисунок, но не саму прямую. Ищите стрелки или мысленно продолжайте линию в обе стороны.

Ошибка: приписывать отрезку бесконечную длину или продолжать его за концы. Отрезок ограничен двумя заданными точками, поэтому его длина конечна. Проверьте, есть ли у линии обозначенные границы.

Ошибка: путать точку на луче или прямой с началом луча или концом отрезка. Любая точка может лежать на линии, но границей она становится только в подходящем объекте. Сверьте её положение: у луча начало одно, у отрезка концов два, у прямой границ нет.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия точки, взаимного расположения точек, направления и измерения длины отрезка. Позже отрезки, лучи и прямые встретятся при изучении углов, координатной прямой, расстояний между точками и построении фигур. В практике они помогают изображать маршруты, границы, направления и расстояния на схемах и чертежах.

Что запомнить

• Отрезок имеет два конца и конечную длину.
• Луч имеет начало и продолжается бесконечно в одну сторону.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны.
• Отрезок обозначают буквами его концов.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.
• Прямую обозначают двумя любыми точками, лежащими на ней.
• Отрезок является частью луча или прямой, если его точки лежат на соответствующем объекте.