§ 2. Отрезки. Конструкции из отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка: у отрезка AB концами служат точки A и B, а запись AB обозначает сам отрезок. В отличие от прямой, он не продолжается бесконечно, поэтому его можно измерить.

Длина отрезка — расстояние между его концами. Её измеряют линейкой: совмещают нулевую отметку с одним концом и смотрят, какое число на шкале совпало со вторым. Длина помогает точно строить фигуры и сравнивать расстояния, а не судить о них только на глаз.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Они могут быть повёрнуты или расположены в разных местах чертежа, но их длины от этого не меняются. Понятие равенства позволяет переносить отрезки и составлять фигуры с заданными размерами.

Ломаная — фигура из отрезков, последовательно соединённых концами. Отрезки называют звеньями, а точки, в которых соседние звенья соединяются, — вершинами. Ломаные помогают изображать путь и составлять контуры фигур из отдельных частей.

Как это устроено

Чтобы построить отрезок заданной длины, сначала поставь точку начала, приложи к ней нулевую отметку линейки и найди на шкале нужное число. Поставь там вторую точку и обозначь оба конца буквами. Затем проверь расстояние ещё раз: если линейка сдвинулась или отсчёт начался не с нуля, длина получится неверной.

Сравнить два отрезка можно измерением или наложением. При измерении нужно пользоваться одной и той же единицей, например сантиметром, иначе числа нельзя сравнивать напрямую. При наложении совмести концы отрезков: если совпал и второй конец, длины равны; если нет, выступающий отрезок длиннее.

Несколько отрезков можно последовательно отложить на одной прямой: конец первого совместить с началом второго, а затем продолжить построение. Так получается общий отрезок, длина которого равна сумме длин частей, потому что расстояние складывается из расстояний на отдельных участках. Например, если отложить 3 см, а вслед за ними 5 см, весь отрезок будет 8 см.

Чтобы составить ломаную, соедини конец одного отрезка с началом следующего. Длина ломаной находится сложением длин всех её звеньев, потому что весь путь состоит из этих отдельных частей. Если пропустить хотя бы одно звено, сумма окажется меньше действительной длины пути.

В замкнутой конструкции последнее звено должно соединиться с начальной точкой, иначе контур останется открытым. Поэтому отрезки необходимо располагать так, чтобы их концы совпадали в нужных вершинах, а последний конец вернулся к началу. Проверить возможность замыкания помогает условие: длина самого длинного отрезка должна быть меньше суммы длин остальных; иначе остальные не дотянутся до его концов.

Отрезки и конструкции из отрезков

В таблице собраны основные действия с отрезками и ломаной. Сначала найди нужную строку, затем сверь действие с тем, что требуется в задаче. Если строишь фигуру, отдельно проверь соединение концов и единицы измерения.

Разбор задач

Задача: Постройте отрезок AB длиной 4 см. Нужно получить именно заданную длину, поэтому начальную точку удобно совместить с нулём линейки. Вторую точку ставят у отметки 4 см, а буквами обозначают концы. Проверка измерением помогает убедиться, что отрезок построен верно.

1. Поставь точку A и приложи к ней линейку так, чтобы A совпала с отметкой 0.
2. Найди на шкале отметку 4 см и поставь там точку B.
3. Проведи между точками прямую линию и подпиши концы A и B.

Ответ: отрезок AB длиной 4 см.

Задача: Даны отрезки длиной 3 см и 5 см. Постройте отрезок, равный их сумме, и укажите его длину. Чтобы получить общую длину на одной прямой, нужно отложить второй отрезок от конца первого, а не начинать его заново от начальной точки. Тогда итоговый отрезок включает обе части.

1. Поставь точку A и отложи от неё 3 см до точки B.
2. От точки B в том же направлении отложи 5 см до точки C.
3. Весь отрезок AC состоит из частей AB и BC, поэтому сложи их длины: 3 + 5 = 8 см.

Ответ: отрезок AC длиной 8 см.

Задача: Постройте замкнутую ломаную из отрезков длиной 2 см, 3 см и 6 см. Объясните, почему это невозможно. В замкнутой фигуре отрезок длиной 6 см должен соединиться с двумя другими звеньями, которые вместе дают только 5 см. Этой общей длины не хватает, чтобы замкнуть контур.

1. Найди длину самого длинного отрезка: это 6 см.
2. Сложи длины двух остальных: 2 + 3 = 5 см.
3. Сравни значения: 6 см больше 5 см, поэтому короткие звенья не могут соединить концы длинного.

Ответ: построить такую замкнутую ломаную невозможно.

Типичные ошибки

Иногда отрезком называют прямую или луч. Так происходит, когда не учитывают, что у отрезка есть два конца, а прямая и луч продолжаются дальше. Проверь себя: если у изображённой части нет двух отмеченных концов, это не отрезок.

При измерении линейкой можно начать отсчёт от её края, хотя нулевая отметка расположена не там. Тогда к длине отрезка прибавится лишнее расстояние или часть его потеряется. Перед измерением найди цифру 0, совмести её с одним концом и проверь положение второго конца по шкале.

Отрезки на рисунке могут казаться одинаковыми, но изображение бывает неточным или один из отрезков просто повёрнут. Поэтому равенство нельзя уверенно устанавливать только на глаз. Измерь оба отрезка одной линейкой или совмести их концы наложением и сравни положение остальных концов.

При нахождении длины ломаной иногда складывают не все звенья или путают её длину с расстоянием между началом и концом. Ошибка возникает, если не проследить весь путь по порядку. Отметь каждое звено на чертеже и сложи его длину с остальными; для замкнутой ломаной учитывай и последнее звено.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужны знания о точке, прямой и луче, а также умение пользоваться линейкой и единицами длины. Сложение длин помогает находить периметр многоугольника: для этого складывают длины его сторон. Построение ломаных подготавливает к изучению многоугольников и геометрических построений, где важно правильно соединять отрезки.

Что запомнить

• У отрезка два конца.
• Длину отрезка измеряют между его концами.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Длину ломаной находят сложением длин всех её звеньев.
• Звенья ломаной соединяются концами.
• Для замкнутой конструкции из нескольких отрезков самый длинный отрезок должен быть короче суммы остальных.