2.3. Цилиндры, конусы

Определения и обозначения

Цилиндр — тело с двумя равными параллельными круглыми основаниями и боковой поверхностью. Основания — это два круга, а боковая поверхность соединяет их границы. Чтобы описать цилиндр, обычно называют радиус основания и высоту. По этим признакам его легко отличить от других тел.

Конус — тело с одним круглым основанием и вершиной вне плоскости основания. Боковая поверхность соединяет окружность основания с этой единственной вершиной. Вершина не лежит в плоскости основания, иначе тело не имело бы объёма. Такое определение помогает распознать конус и не спутать его с цилиндром.

Высота тела — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований цилиндра или от основания до вершины конуса. Перпендикуляр — отрезок, который образует с плоскостью прямой угол. Высоту часто обозначают h. Она нужна, чтобы измерять, насколько далеко расположены основания или вершина от основания.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. Обычно её обозначают l. В отличие от высоты, образующая наклонена к плоскости основания. Это понятие нужно, например, при вычислении длины боковой поверхности и при изучении развёртки конуса.

Как это устроено

Представь прямоугольник, который вращают вокруг одной из его сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью вращения, а противоположная ей сторона описывает окружность. Так возникают два одинаковых круга в параллельных плоскостях — основания цилиндра; расстояние между ними равно длине стороны, вокруг которой вращали прямоугольник. Оставшиеся стороны при вращении создают боковую поверхность.

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов, этот катет станет осью, а противоположная вершина будет двигаться по окружности. Так появляется одно круглое основание, а вершина треугольника на оси становится вершиной конуса. Второе основание не возникает: у треугольника только одна сторона, противоположная оси, и её вращение даёт окружность основания.

Высота всегда измеряется перпендикулярно основанию, потому что именно кратчайшее расстояние от точки до плоскости определяется перпендикуляром. У прямого конуса она идёт от вершины к центру основания. Образующая же ведёт от вершины к краю основания, поэтому направлена наклонно. В осевом сечении конуса высота и радиус основания образуют прямой угол с половиной осевого сечения, а образующая становится его наклонной стороной.

У цилиндра отрезки боковой поверхности, соединяющие соответствующие точки двух оснований, параллельны друг другу: одно основание как бы перенесено на одинаковое расстояние. У конуса такие отрезки начинаются в разных точках окружности, но все приходят в одну вершину. Эти отрезки называют образующими; в прямом цилиндре они равны, а у конуса их длины тоже одинаковы, если вершина находится над центром основания.

Если разрезать боковую поверхность цилиндра вдоль образующей и разложить её на плоскости, получится прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра, а длина — длине окружности основания, потому что поверхность оборачивает основание целиком. Боковую поверхность конуса после разреза по образующей можно разложить в сектор круга: его радиус равен образующей, а дуга равна окружности основания. Поэтому эта развёртка не является целым кругом.

Сравнение цилиндра и конуса

Сначала сравни количество оснований и наличие вершины: эти признаки быстрее всего помогают определить тело. Затем проверь, как устроены его образующие и какое сечение получится, если провести плоскость через ось. Последние строки таблицы пригодятся, когда нужно представить поверхность разложенной на плоскости.

Разбор задач

Задача 1. У тела А два равных круга в параллельных плоскостях, боковые отрезки параллельны; у тела Б один круг и точка вне его плоскости, к которой сходятся боковые отрезки. Определи тела и назови их основания, высоты и образующие. Для высоты нужно найти именно перпендикуляр к основанию, а не любой отрезок боковой поверхности.

1. У тела А два равных параллельных круглых основания, поэтому это цилиндр. Его основания — указанные круги, высота — перпендикуляр между их плоскостями, образующие — параллельные отрезки боковой поверхности.
2. У тела Б одно круглое основание и одна вершина, поэтому это конус. Его основание — данный круг, высота идёт от вершины перпендикулярно к плоскости круга, а образующие соединяют вершину с точками окружности.

Ответ: тело А — цилиндр, тело Б — конус. Если при выполнении задания неясно, где высота, мысленно опусти перпендикуляр к плоскости основания. Наклонные отрезки от вершины конуса будут образующими, а не высотой.

Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найди размеры прямоугольника в развёртке боковой поверхности. Одна сторона развёртки равна высоте цилиндра, а другая должна обернуться вокруг основания целиком. Поэтому сначала нужно найти длину окружности.

1. Запиши формулу длины окружности: C = 2πr. Подставь радиус: C = 2 · π · 3 = 6π см.
2. Первая сторона прямоугольника равна высоте: 5 см. Вторая равна длине окружности: 6π см, или примерно 18,84 см при π ≈ 3,14.

Ответ: размеры прямоугольника — 5 см и 6π см (примерно 18,84 см). Проверка смысла результата: длинная сторона должна обойти основание цилиндра один раз. Поэтому она равна длине окружности, а не радиусу и не диаметру.

Задача 3. Радиус основания конуса равен 5 см, высота — 12 см. Найди образующую. В осевом сечении высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. Высота и радиус — его катеты, а образующая — гипотенуза, то есть сторона напротив прямого угла.

1. Обозначь образующую через l и используй теорему Пифагора: l² = h² + r². Подставь известные длины: l² = 12² + 5².
2. Вычисли квадраты и сложи: l² = 144 + 25 = 169. Значит, l = √169 = 13 см, потому что длина положительна.

Ответ: образующая конуса равна 13 см. Полученное значение больше и высоты, и радиуса, что подходит для гипотенузы прямоугольного треугольника. Если бы образующая оказалась короче высоты, в вычислениях стоило бы поискать ошибку.

Типичные ошибки

Цилиндр называют кругом. Круг — плоская фигура, а цилиндр — пространственное тело с объёмом и двумя основаниями. Ошибку допускают, потому что видимое основание цилиндра действительно круг. Чтобы проверить себя, спроси: описывается ли только плоская фигура или ещё и боковая поверхность?

Образующую конуса считают высотой. Образующая соединяет вершину с окружностью и наклонена, а высота должна идти перпендикулярно плоскости основания. Их путают, потому что оба отрезка начинаются в вершине. Проверка проста: отметь прямой угол между высотой и основанием; у образующей такого угла обычно нет.

У цилиндра изображают вершину. У цилиндра два основания, а боковая поверхность не сходится в одной точке. Это свойство конуса переносят на цилиндр, когда ориентируются только на рисунок. Пересчитай основания и проверь, соединяют ли боковые отрезки два круга или ведут к общей вершине.

Боковую поверхность конуса считают кругом. Круг — вся плоская фигура, а развёртка боковой поверхности конуса — лишь сектор, то есть часть круга. Ошибка возникает, если забыть, что после развёртывания край поверхности должен соответствовать окружности основания. Проверь длину дуги сектора: она должна совпадать с длиной этой окружности.

Связь с другими темами

Для работы с цилиндром и конусом пригодятся знания о круге, окружности, радиусе, диаметре и длине окружности. Понятие перпендикуляра необходимо, чтобы находить высоту и отличать её от наклонной образующей. Развёртки помогают перейти от пространственного тела к плоской фигуре; позже эти знания понадобятся при изучении площадей поверхностей и объёмов. Цилиндры и конусы используют в моделировании предметов и расчёте упаковки, а их сечения показывают, какую плоскую фигуру даст разрез тела.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных параллельных круглых основания.
• Конус имеет одно круглое основание и одну вершину.
• Высота перпендикулярна основанию.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.
• Образующие конуса соединяют вершину с окружностью основания.
• Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, а конуса — равнобедренный треугольник.
• Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, конуса — сектор круга.