§ 3. Круглые фигуры

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Центр обычно обозначают буквой O, а радиус — буквой r или R. Такая линия задаёт границу круглой фигуры.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Если представить обруч, его край похож на окружность, а заполненная область внутри — на круг. Это различие нужно, чтобы понимать, ищем ли мы длину границы или размер всей области.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Его длину обозначают r или R, а сам отрезок, например, записывают OA, если O — центр, а A лежит на окружности. Радиус помогает строить окружность и находить другие её величины.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр обозначают d, и он равен двум радиусам: d = 2r. Это удобно, когда известен радиус или нужно определить ширину круга через центр.

Как это устроено

Чтобы построить окружность, отметь точку O и выбери радиус, например 3 см. Поставь иглу циркуля в O, раздвинь ножки на 3 см и, не меняя раствора, поверни циркуль вокруг иглы. Расстояние между иглой и карандашом всё время остаётся одним и тем же, поэтому каждая нарисованная точка отстоит от O на 3 см. Именно так все точки построенной линии оказываются равноудалёнными от центра.

Окружность — только граница, а круг состоит из границы и точек внутри неё. Это похоже на разницу между обводкой на листе и всей закрашенной фигурой: обводка задаёт край, но сама по себе не заполняет область. Поэтому длину края связывают с окружностью, а площадь внутренней части — с кругом. В обычной речи эти слова иногда используют как похожие, но в задачах их значения важно различать.

Каждый радиус начинается в центре и заканчивается на окружности, так что его длина равна расстоянию от центра до любой точки этой линии. Поскольку все точки окружности равноудалены от центра, все радиусы одной окружности равны. Диаметр идёт от одной точки окружности к другой через центр и делится им на две равные части. Каждая из этих частей является радиусом, поэтому диаметр состоит из двух радиусов и d = 2r.

Хорда соединяет любые две точки окружности, но не обязательно проходит через центр. Диаметр — особенная хорда: он проходит через центр и имеет наибольшую длину. Если хорда не проходит через центр, она расположена ближе к краю круга, а не пересекает его по самой широкой линии. Поэтому никакая другая хорда не может быть длиннее диаметра.

Длина окружности зависит от радиуса: для всех окружностей отношение длины к диаметру одинаково и обозначается греческой буквой π. Число π приблизительно равно 3,14, поэтому длину находят по формулам L = πd или L = 2πr. Площадь круга показывает, сколько места занимает его внутренняя область, и вычисляется по формуле S = πr². Здесь r² означает r · r, поэтому длина измеряется в единицах длины, а площадь — в квадратных единицах.

Основные элементы и свойства круглых фигур

В таблице удобно сравнивать, где речь идёт о границе, а где — о заполненной области. Перед вычислением выбери нужную строку: для длины границы используй длину окружности, для размера области — площадь круга. В формулах радиус относится к окружности, ограничивающей круг.

Разбор задач

1. Построение окружности

Построим окружность с центром O и радиусом 4 см, отметим на ней точки A и B и проведём радиус OA и диаметр AB. Сначала важно построить линию с нужным расстоянием от центра, а затем расположить диаметр так, чтобы он проходил через центр. Тогда отрезок AB будет состоять из двух радиусов.

1. Поставим иглу циркуля в точку O и раздвинем ножки на 4 см.
2. Повернём циркуль вокруг O и начертим окружность. Выберем на ней точки A и B так, чтобы прямая AB проходила через O.
3. Соединим O с A: отрезок OA — радиус, его длина равна 4 см. Проведём AB через O; это диаметр, поэтому AB = 2 · OA = 2 · 4 = 8 см.

Ответ: окружность построена, OA = 4 см, AB = 8 см. Проверка простая: диаметр должен проходить через центр и быть вдвое длиннее радиуса. Если выбрать точки A и B без условия прохождения прямой через O, отрезок AB может оказаться обычной хордой, а не диаметром.

2. Радиус круга равен 6 см

Найдём диаметр, длину окружности и площадь круга радиусом 6 см. Здесь нужны три формулы: d = 2r, L = 2πr и S = πr². Сначала подставим известный радиус, а в ответах площади обязательно укажем квадратные сантиметры.

1. Диаметр: d = 2 · 6 = 12 см.
2. Длина окружности: L = 2 · π · 6 = 12π см ≈ 37,68 см.
3. Площадь круга: S = π · 6² = 36π см² ≈ 113,04 см².

Ответ: d = 12 см, L = 12π см ≈ 37,68 см, S = 36π см² ≈ 113,04 см². В вычислении площади радиус сначала возводят в квадрат: 6² = 36. Не заменяй квадрат сантиметра обычным сантиметром: длина и площадь измеряются в разных единицах.

3. Площадь оставшегося кольца

Из круглого листа радиусом 10 см вырезали круг радиусом 6 см. Будем считать, что вырезанный круг расположен внутри листа и центры обоих кругов совпадают, так что остаётся кольцо. Площадь кольца найдём вычитанием: из площади большого круга уберём площадь вырезанного малого круга.

1. Площадь большого круга: S₁ = π · 10² = 100π см².
2. Площадь вырезанного круга: S₂ = π · 6² = 36π см².
3. Вычтем площади: Sкольца = S₁ − S₂ = 100π − 36π = 64π см² ≈ 200,96 см².

Ответ: 64π см², или примерно 200,96 см². Внешний радиус равен 10 см, а внутренний — 6 см, поэтому в формуле нельзя менять их местами или использовать один радиус дважды. Проверка: оставшаяся площадь должна быть меньше площади большого круга.

Типичные ошибки

• Окружность называют кругом. Так случается, потому что в разговоре эти слова часто смешивают. Проверь себя: если нужна только граница, это окружность; если область внутри вместе с границей — круг.
• Радиус принимают за диаметр и пишут d = r. Обычно забывают, что диаметр проходит от края до края через центр. Отметь центр на диаметре: он делит его на два равных радиуса, значит должно быть d = 2r.
• Любую хорду считают диаметром. Хорда соединяет две точки окружности, но через центр проходит не всегда. Проверь положение отрезка: только хорда через центр является диаметром.
• Путают формулы длины и площади. Формула S = 2πr неверна: 2πr находит длину окружности, а площадь считают как S = πr². Сверься с единицами: для длины подходят сантиметры, для площади — квадратные сантиметры.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужны знания об отрезке, середине отрезка, единицах длины и площади, а также умение пользоваться циркулем. Эти понятия помогают строить фигуры и проверять измерения. Позже длины и площади пригодятся при вычислении периметров и площадей других фигур, а окружности — при геометрических построениях и задачах на масштаб. Радиус и диаметр встречаются также при изучении цилиндра, сферы, конуса и вращательного движения.

Что запомнить

• Окружность — граница, а круг — область внутри окружности вместе с границей.
• Радиус соединяет центр окружности с её точкой.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам: d = 2r.
• Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πr.
• Площадь круга вычисляется по формуле S = πr².
• Число π примерно равно 3,14.