14.2. Ломаные и многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная линия — фигура из последовательно соединённых отрезков. Конец одного отрезка соединяется с началом следующего, поэтому отдельные отрезки складываются в одну непрерывную линию. Ломаную удобно представлять как путь, который несколько раз меняет направление.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. У соседних звеньев есть общая точка, в которой они соединяются. Слово «звено» помогает отличать части линии друг от друга и считать, из скольких отрезков она построена.

Вершина ломаной — общая точка соседних звеньев. Вершинами также являются концы незамкнутой ломаной, даже если к каждому из них подходит только одно звено. Вершины показывают, где звенья соединяются и где меняется направление линии.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называют сторонами многоугольника, а вершины ломаной — вершинами многоугольника. Это название позволяет описывать фигуру не только как линию, но и как область, которую она ограничивает.

Как это устроено

Ломаную строят, соединяя отрезки последовательно: конец первого звена становится началом второго, конец второго — началом третьего и так далее. Благодаря общим точкам между отрезками не возникает разрывов, и получается непрерывная линия. У звеньев между крайними есть соседи с обеих сторон, а у крайних звеньев незамкнутой ломаной — только по одному соседу. Поэтому при построении важно соединять именно концы отрезков.

Если начало ломаной не совпадает с её концом, она называется незамкнутой. Если последняя точка соединена с начальной и они совпадают, ломаная замкнутая. В замкнутой линии нет отдельного первого или последнего конца: каждое звено встречается с двумя соседними. Проверить замкнутость можно, проследив линию от начала до конца и выяснив, пришли ли мы в начальную точку.

У незамкнутой ломаной число вершин на одну больше числа звеньев. Например, у двух звеньев есть одна общая точка соединения, а также два конца — всего три вершины; каждое новое звено добавляет одну вершину. У замкнутой ломаной число вершин равно числу звеньев: последнее звено соединяется с первым, поэтому отдельной дополнительной вершины не возникает. Это различие объясняется тем, замыкается ли линия обратно в начальную точку.

Замкнутая ломаная образует границу многоугольника, потому что её начало и конец соединены и линия ограничивает фигуру. Отрезки границы становятся сторонами, а точки, где стороны соединяются, — вершинами. Если ломаная не замкнута, граница остаётся незавершённой, поэтому она сама по себе не ограничивает многоугольник. Так можно понять, почему для многоугольника недостаточно просто нескольких соединённых отрезков.

Название многоугольника зависит от числа его сторон: три стороны дают треугольник, четыре — четырёхугольник. Стороны и вершины рассматривают по порядку, двигаясь вдоль границы фигуры. При подсчёте удобно начать с любой стороны и не перескакивать через звенья. Число сторон равно числу звеньев замкнутой ломаной, а число вершин у неё такое же.

Сравнение ломаных и многоугольника

Сначала выберите в таблице признак, который нужно проверить: например, совпадают ли концы или как соотносятся число звеньев и вершин. Затем сравните соответствующие ячейки. Так проще не перепутать замкнутую ломаную с многоугольником: ломаная — это граница, а многоугольник — фигура, которую эта граница ограничивает.

Разбор задач

Задача 1. Начертите ломаную из трёх звеньев и обозначьте её вершины. Нужно получить одну непрерывную линию из трёх отрезков, а не три отдельных отрезка. Выберем незамкнутую ломаную: у неё будут два конца и две внутренние точки соединения. Обозначим вершины буквами A, B, C и D.

1. Поставьте на листе четыре точки A, B, C и D так, чтобы они не лежали все на одной прямой.
2. Соедините A с B, B с C и C с D отрезками. Получились три звена, и у каждой пары соседних отрезков есть общая вершина.
3. Проверьте, что линия непрерывна, а точки A и D не совпадают. Значит, ломаная незамкнутая, и все четыре обозначенные точки являются её вершинами.

Ответ: ломаная A–B–C–D из трёх звеньев имеет вершины A, B, C и D. Обозначения показывают порядок соединения отрезков. Убедитесь, что каждый соседний отрезок встречается с другим в общей точке.

Задача 2. У незамкнутой ломаной пять звеньев. Сколько у неё вершин? Важно учитывать не только точки соединения звеньев внутри пути, но и оба его конца. Для незамкнутой ломаной число вершин на одну больше числа звеньев.

1. Представьте пять звеньев, выстроенных друг за другом. Между ними будут четыре точки соединения.
2. Добавьте две крайние вершины — начало и конец линии. Получится 4 + 2 = 6 вершин.
3. Проверьте правило: пять звеньев и на одну больше вершин, то есть шесть. Оно подходит, потому что начало и конец не совпадают.

Ответ: у ломаной шесть вершин. Четыре из них — точки соединения соседних звеньев, ещё две — концы незамкнутой линии. Если бы ломаная была замкнутой, подсчёт был бы другим.

Задача 3. У замкнутой ломаной шесть звеньев. Можно ли назвать ограниченную ею фигуру шестиугольником? Нужно проверить и замкнутость линии, и число её сторон. В условии сказано, что ломаная замкнутая, а каждое её звено становится стороной границы.

1. Убедитесь, что начало и конец совпадают. Это значит, что линия замкнута и может ограничивать многоугольник.
2. Сопоставьте звенья и стороны: у замкнутой ломаной каждое звено — одна сторона. Поэтому шесть звеньев соответствуют шести сторонам.
3. Назовите многоугольник по числу сторон. Фигура с шестью сторонами называется шестиугольником.

Ответ: да, ограниченную этой замкнутой ломаной фигуру можно назвать шестиугольником. При проверке мы установили, что граница замкнута, а число её сторон равно шести. Одного подсчёта отрезков без проверки замкнутости было бы недостаточно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что у замкнутой ломаной вершин на одну больше, чем звеньев. Так бывает, если запомнить правило для незамкнутой линии, но не заметить, что в замкнутой последний конец соединён с первым. Проверьте себя: у шести звеньев замкнутой ломаной шесть вершин, потому что отдельной вершины-конца сверх этого числа нет.

Ошибка: называть начальную и конечную точки замкнутой ломаной разными. Такое представление возникает, когда линию мысленно начинают обходить с одной точки и забывают, что после последнего звена путь возвращается к ней. Проведите пальцем вдоль границы до конца: если он пришёл в начальную точку, это одна и та же вершина, а ломаная замкнута.

Ошибка: путать звенья и вершины. Иногда отрезки и точки рядом с ними называют одним словом, потому что они образуют общую фигуру. Но звено — это отрезок, а вершина — точка, в которой встречаются соседние звенья. Чтобы проверить ответ, спросите себя: можно ли эту часть измерить как отрезок или указать как точку?

Ошибка: считать любую ломаную многоугольником. Это происходит, если сосредоточиться только на наличии звеньев и вершин, не проверив, соединены ли концы. У незамкнутой линии граница не завершена, поэтому она не ограничивает многоугольник. Перед названием фигуры проследите ломаную до конца и проверьте, совпал ли он с началом.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и что означает точка пересечения отрезков. Эти знания помогают понять, как звенья соединяются в вершинах и почему между ними не должно быть разрыва. Если вы умеете различать отрезок и его концы, легче построить ломаную и посчитать её элементы.

Дальше понятия ломаной и многоугольника пригодятся при изучении видов многоугольников, их сторон и вершин. Умение находить стороны помогает также перейти к периметру — длине границы фигуры. Сначала важно правильно определить, какие звенья входят в границу и где она замыкается.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями.
• Общие точки соседних звеньев называются вершинами ломаной.
• У незамкнутой ломаной начало и конец не совпадают.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Число сторон многоугольника равно числу звеньев его границы.