14.1. Геометрические фигуры из отрезков

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, составленная из последовательно соединённых отрезков. Отрезки называют её звеньями, а точки, в которых они соединяются, — вершинами. Это определение помогает увидеть, из каких частей построена фигура, и не спутать её с линией, которая изгибается плавно.

Звено ломаной — отдельный отрезок, соединяющий две соседние вершины. Например, в ломаной ABCD отрезки AB, BC и CD являются звеньями. Такое название удобно, когда нужно перечислить части ломаной или определить, сколько отрезков в ней соединено.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой конец последнего звена совпадает с началом первого. У неё нет разрыва между концом и началом: звенья образуют замкнутую границу. Это свойство помогает отличить фигуру, которая охватывает область, от ломаной с двумя отдельными концами.

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Отрезки границы называют сторонами многоугольника, а точки их соединения — его вершинами. Вершину многоугольника обозначают той же буквой, что и соответствующую точку; это позволяет называть фигуру и описывать её части.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, берут несколько отрезков и соединяют их последовательно: конец одного звена должен стать началом следующего. Так отрезки образуют единую фигуру, а не остаются отдельными частями. Например, в ломаной ABCD сначала идёт AB, затем BC, затем CD. Запись букв по порядку показывает, в каком направлении нужно пройти по ломаной.

Точки, в которых отрезки соединены, называют вершинами, потому что именно в этих местах меняется направление движения по ломаной. Каждый отрезок между соседними точками соединения считается отдельным звеном. Поэтому у ломаной ABCD вершины A, B, C и D, а звенья AB, BC и CD. Концы ломаной тоже входят в число вершин: в точках A и D сходится по одному звену, а не по два.

У незамкнутой ломаной начальная и конечная точки различны: если двигаться по звеньям от начала, в конце пути попадёшь в другую точку. У замкнутой ломаной конец последнего звена совпадает с началом первого, поэтому путь можно пройти по кругу и вернуться туда, откуда начали. Проверять нужно именно совпадение этих двух точек. Пересечение звеньев в другом месте не заменяет такого совпадения.

Замкнутая ломаная становится границей многоугольника, а часть плоскости внутри этой границы входит в сам многоугольник. Каждому звену границы соответствует одна сторона, поэтому сторон столько же, сколько звеньев. Например, если граница состоит из пяти звеньев, она задаёт пятиугольник с пятью сторонами. Это позволяет определить вид многоугольника по числу его сторон.

Ломаную обозначают буквами её вершин по порядку обхода: ABCD означает, что нужно пройти A—B—C—D. У замкнутой ломаной в конце пути возвращаются к начальной точке, но при подсчёте вершин её не считают второй раз. Чтобы найти число звеньев, перечисляют пары соседних букв; в записи ABCD это AB, BC и CD. Для многоугольника тем же способом называют стороны, добавляя последнее звено, которое соединяет последнюю вершину с первой.

Ломаные и многоугольники

Сначала посмотри на столбец «Объект», затем проверь, чем образована фигура и замкнута ли её граница. Строка многоугольника напоминает, что это не только сама замкнутая ломаная, но и часть плоскости внутри неё. Примеры букв показывают порядок, в котором называют вершины при обходе.

Разбор задач

Задача 1. По ломаной ABCD определим число звеньев и вершин, а также её начальную и конечную точки. Порядок букв показывает путь от первой вершины к последней. Поэтому важно считать отрезки между соседними буквами, а не расстояние от A до D.

1. Запишем соседние пары букв: AB, BC и CD.
2. Каждая пара обозначает одно звено, значит, звеньев три.
3. Перечислим вершины ломаной: A, B, C, D; их четыре.
4. Начальная точка — A, потому что с неё начинается запись, конечная — D.

Ответ: три звена, четыре вершины; начальная точка A, конечная точка D. Длина отрезка AD не определяет число звеньев: это лишь отрезок между началом и концом, а не часть указанной ломаной.

Задача 2. Определим, какие из предложенных фигур являются замкнутыми ломаными. Для каждой фигуры нужно проверить, что её части — отрезки, соединённые последовательно. Затем сравнить начальную точку с концом последнего звена: пересечение звеньев в середине фигуры само по себе не подходит.

1. Найди начало первого звена и мысленно пройди по всем звеньям по порядку.
2. Отметь точку, где заканчивается последнее звено.
3. Сравни её с началом первого звена: если это одна и та же точка, ломаная замкнутая.
4. Если точки различны, ломаная незамкнутая, даже если некоторые её звенья пересекаются.

Ответ: замкнутыми являются только фигуры, у которых конец последнего звена совпадает с началом первого. Для остальных это условие не выполнено. Такой способ проверки подходит и для ломаных, которые пересекают сами себя.

Задача 3. Для многоугольника ABCDE назовём стороны и вершины, узнаем число сторон и объясним, почему фигура является многоугольником. Буквы идут по границе в порядке обхода. Поскольку граница замкнута, после E нужно вернуться к A.

1. Запишем звенья границы по соседним вершинам: AB, BC, CD и DE.
2. Добавим последнее звено EA, которое соединяет последнюю вершину с первой.
3. Назовём стороны: AB, BC, CD, DE и EA; вершин: A, B, C, D и E.
4. Сосчитаем звенья границы: их пять, значит, у многоугольника пять сторон.

Ответ: стороны — AB, BC, CD, DE, EA; вершины — A, B, C, D, E; сторон пять. Фигура является многоугольником, потому что часть плоскости ограничена замкнутой ломаной из отрезков.

Типичные ошибки

Иногда вершинами считают только концы всей ломаной и забывают точки, где соединяются звенья. Так бывает, если смотреть на фигуру как на один путь, не отмечая его повороты. Проверь себя: у каждого соединения соседних отрезков должна быть вершина, а у незамкнутой ломаной вершинами также являются оба конца.

Пересекающиеся звенья могут показаться признаком замкнутости, но это не так: достаточно проверить, совпадают ли начало первого и конец последнего звена. Если они разные, ломаная незамкнутая, даже когда отрезки пересеклись в другой точке. Для проверки пройди по звеньям по порядку и сравни именно две крайние точки пути.

Звенья иногда путают с расстоянием между началом и концом ломаной. Однако звено — один из отрезков, соединяющих соседние вершины, а отрезок между крайними точками может вообще не входить в ломаную. Чтобы не ошибиться, перечисли пары соседних вершин и считай только отрезки, входящие в запись ломаной.

Не всякую замкнутую линию можно назвать границей многоугольника: она может быть кривой, а не состоять из отрезков. Путаница возникает из-за того, что замкнутая линия действительно отделяет внутреннюю область. Проверь, из чего составлена её граница: для многоугольника она должна быть замкнутой ломаной, то есть состоять из отрезков.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое точка и отрезок, где находятся концы отрезка и как обозначают геометрические объекты буквами. Полезно также понимать, что точки и отрезки могут принадлежать одной фигуре. Эти знания помогают читать запись ломаной и находить её звенья.

Позже ломаные и многоугольники помогут изучать треугольники и четырёхугольники: их стороны и вершины можно описать теми же понятиями. При вычислении периметра складывают длины сторон многоугольника, а длину ломаной находят по длинам её звеньев. Поэтому важно уметь не пропускать ни одного отрезка при обходе фигуры.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями, а точки их соединения — вершинами.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Число сторон многоугольника равно числу звеньев его границы.
• Ломаную обозначают последовательностью букв её вершин.