§ 14. Ломаная

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, составленная из отрезков, последовательно соединённых концами. Чтобы её получить, расположи несколько отрезков так, чтобы конец одного совпал с началом следующего. Это определение помогает отличить одну ломаную от случайного набора отрезков.

Звено ломаной — каждый отрезок, из которых составлена ломаная. Звенья образуют её части и задают путь от одной вершины к другой. Если ломаная обозначена ABCD, её звенья — AB, BC и CD.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев, а также конец всей ломаной. Поэтому вершинами считают и места соединения отрезков, и обе крайние точки незамкнутой ломаной. Вершины обычно обозначают заглавными буквами и называют по порядку.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Чтобы её найти, измерь или возьми из условия длину каждого звена, а затем сложи полученные числа. Так учитывается весь путь, а не только расстояние между его началом и концом.

Как это устроено

В ломаной конец одного звена совпадает с началом следующего, поэтому отрезки соединены в единую фигуру. Точка, общая для соседних звеньев, становится вершиной и показывает, где путь меняет направление. Например, в ломаной ABCD звено AB заканчивается в точке B, а звено BC начинается там же. Если соседние отрезки не имеют общей точки, между ними есть разрыв, и пройти по одной ломаной от одного к другому нельзя.

Несколько отрезков сами по себе ещё не обязательно составляют ломаную. Они должны быть соединены последовательно: у каждого звена, кроме первого и последнего, есть соседнее звено с каждой стороны. Это условие нужно, чтобы фигуру можно было пройти без отрыва от одного конца до другого. Поэтому отдельные, не соприкасающиеся отрезки называют набором отрезков, а не одной ломаной.

Чтобы узнать число звеньев, проследи путь от первой точки и считай каждый отрезок между соседними вершинами один раз. Затем назови вершины по порядку: у ломаной ABCD это A, B, C и D, а звенья — AB, BC и CD. У незамкнутой ломаной между звеньями есть общие вершины, а ещё два конца; поэтому вершин на одну больше, чем звеньев. Такой порядок обозначений помогает не перепутать звенья и правильно записать вычисление длины.

Ломаная замкнута, если её последний конец совпадает с началом: тогда по звеньям можно вернуться в исходную точку. Если эти точки различны, ломаная незамкнутая и имеет два отдельных конца. Замкнутая ломаная не имеет свободных концов, поэтому число её вершин равно числу звеньев. Это различие видно, если проследить фигуру до конца и проверить, пришёл ли путь в начальную точку.

Длину ломаной находят сложением длин всех звеньев, потому что весь путь состоит именно из этих отрезков. Если звенья имеют длины 3 см, 5 см и 4 см, записывают 3 + 5 + 4 = 12 см. В сумме нужно учесть каждое звено один раз, даже если оно наклонено или направлено в другую сторону. Измерение только между крайними вершинами дало бы длину другого отрезка, а не всей ломаной.

Элементы и виды ломаной

Сначала найди точки соединения и концы, а затем посчитай отрезки между ними: так не перепутаешь вершины со звеньями. Для проверки сравни число звеньев и вершин: у незамкнутой ломаной вершин на одну больше, а у замкнутой числа равны. Длину определяй только после того, как перечислил все звенья.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке последовательно соединены точки A, B, C и D. Назовите ломаную и укажите её звенья и вершины. Идём по точкам в указанном порядке, потому что именно он показывает, какие отрезки соединены друг с другом. Так мы не добавим к фигуре отрезки, которых в условии нет.

1. Записываем точки по порядку: A, B, C, D.
2. Называем ломаную ABCD.
3. Выписываем отрезки между соседними точками: AB, BC и CD.
4. Перечисляем все точки пути: A, B, C и D.

Ответ: ломаная ABCD; звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D. Здесь три звена и четыре вершины, потому что ломаная незамкнутая и у неё есть два конца.

Задача 2. Длины звеньев ломаной равны 3 см, 5 см и 4 см. Найдите её длину. Нужно пройти по всей ломаной, поэтому складываем длины каждого звена, а не выбираем только самое длинное или крайние точки. Важно также оставить единицу измерения в ответе.

1. Проверяем, сколько длин дано: три, значит, у ломаной три звена.
2. Записываем сумму: 3 см + 5 см + 4 см.
3. Складываем числа: 3 + 5 + 4 = 12.
4. Указываем единицу: получаем 12 см.

Ответ: длина ломаной равна 12 см. Сумма охватывает все три звена, поэтому ни одна часть пути не потерялась.

Задача 3. Ломаная ABCD имеет звенья AB = 4 см, BC = 6 см и CD = 3 см. Сравните её длину с отрезком AD, если AD = 8 см. Сначала найдём полный путь по ломаной, затем сравним результат с длиной отрезка. Отрезок AD соединяет крайние вершины напрямую, а не повторяет повороты ломаной.

1. Складываем длины звеньев: 4 + 6 + 3 = 13 см.
2. Записываем длину отрезка AD: 8 см.
3. Сравниваем 13 и 8: 13 больше 8.

Ответ: длина ломаной ABCD равна 13 см, это больше длины отрезка AD на 5 см. Разница равна 13 − 8 = 5 см.

Типичные ошибки

Можно посчитать вершинами только точки, в которых соединяются звенья, и забыть крайние точки. Так происходит, когда внимание сосредоточено лишь на поворотах пути. Проверь себя: пройди ломаную от начала до конца и отметь каждую точку, включая оба конца. У незамкнутой ломаной концы тоже являются вершинами.

Иногда путают количество звеньев и вершин. У незамкнутой ломаной из нескольких отрезков вершин на одну больше, потому что два конца дополняют точки соединения. Ошибку легко проверить подсчётом: сначала отдельно посчитай отрезки, затем все точки пути. Например, три звена дают четыре вершины.

Набор разрозненных отрезков могут ошибочно назвать ломаной. Причина — отрезки рассматривают по отдельности и не проверяют, совпадают ли их концы. Проследи фигуру непрерывно: если нельзя перейти с одного звена на следующее через общую точку, это не одна ломаная. Соседние звенья должны соединяться концами.

При вычислении длины можно пропустить одно звено или вместо суммы измерить расстояние между крайними вершинами. Это случается, когда считают только начало и конец пути или не проверяют, все ли отрезки учтены. Подпиши длину каждого звена и сложи все подписи по порядку. Затем проверь, что ответ относится ко всей ломаной, а не к отдельному отрезку.

Связь с другими темами

Чтобы изучать ломаные, нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и как измеряют длину. Замкнутая ломаная образует границу многоугольника: его стороны являются звеньями этой ломаной. Поэтому сложение длин звеньев пригодится при нахождении периметра многоугольника. Тот же способ помогает определить длину маршрута, если он состоит из отдельных прямых участков.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называют звеньями.
• Общие точки соседних звеньев и концы ломаной — её вершины.
• Длину ломаной находят сложением длин всех звеньев.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• У незамкнутой ломаной начало и конец различны.