§ 4. Ломаная

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Это значит, что конец одного отрезка совпадает с началом следующего. Ломаная может менять направление, поэтому её удобно использовать, чтобы изображать путь с поворотами.

Звено ломаной — каждый из отрезков, образующих ломаную. Например, в ломаной ABCD звеньями будут отрезки AB, BC и CD. Название звена показывает, какие две соседние вершины оно соединяет.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев; также вершинами называют крайние точки ломаной. У ломаной ABCD вершинами являются A, B, C и D: B и C соединяют соседние звенья, а A и D находятся на концах. Это помогает правильно перечислить все точки фигуры.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Чтобы найти её, измеряют или узнают длину каждого отрезка и складывают значения. Так учитывается весь путь по ломаной, а не только расстояние между его концами.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, берут несколько отрезков и соединяют их последовательно концами: конец первого совпадает с концом второго, а следующий отрезок присоединяется к предыдущему. Общая точка становится местом поворота пути. Если отрезки просто расположены рядом, но их концы не совпадают, единой ломаной не получится.

У двух соседних звеньев есть общая точка, потому что именно через неё одно звено переходит в другое. Например, в ломаной ABCD звенья AB и BC соседние и встречаются в точке B. Отрезки AB и CD не соседние: между ними находится звено BC, поэтому непосредственно общей вершиной они не соединяются.

Ломаную называют по её вершинам, записывая буквы по порядку движения вдоль фигуры. Если путь идёт от A через B и C к D, запись ABCD показывает последовательность звеньев AB, BC, CD. Перестановка букв меняет порядок точек и может обозначить другую последовательность отрезков, поэтому важно следовать за ломаной, а не перечислять вершины произвольно.

Длину находят сложением длин всех звеньев, потому что ломаная проходит по каждому из них. Сначала удобно записать длину каждого отрезка, затем сложить значения в одинаковых единицах измерения. Если одно звено пропущено, но известна длина всей ломаной, сумму известных звеньев вычитают из общей длины.

У незамкнутой ломаной начальная и конечная точки разные: путь заканчивается не там, где начался. У замкнутой они совпадают, поэтому последняя вершина при обходе оказывается той же точкой, что и первая. Так получается контур без разрыва; при этом его звенья всё равно рассматривают по порядку.

Элементы и характеристики ломаной

В таблице можно найти, как называется нужная часть ломаной и что она означает. Если требуется назвать звенья, выпишите отрезки между соседними буквами в обозначении. Если нужно найти длину, сложите длины каждого звена, не пропуская ни одного.

Разбор задач

Задача 1. Назовите звенья и вершины ломаной ABCD, изображённой последовательным соединением точек A, B, C и D. Буквы уже записаны в порядке следования точек вдоль фигуры. Поэтому ищем отрезки между каждой парой соседних букв, а вершинами называем все указанные точки.

1. В первой паре соседних точек получаем отрезок AB.
2. Следующие пары дают отрезки BC и CD.
3. Перечисляем все точки ломаной: A, B, C, D.

Ответ: звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D.

Задача 2. Длины звеньев ломаной равны 4 см, 7 см и 5 см. Найдите длину ломаной. Поскольку весь путь состоит из этих трёх звеньев, нужно учесть длину каждого, а затем сложить их. Единица измерения у всех значений одна и та же — сантиметры.

1. Записываем длины всех звеньев: 4 см, 7 см и 5 см.
2. Складываем их: 4 + 7 + 5 = 16.
3. Указываем единицу измерения: получаем 16 см.

Ответ: 16 см.

Задача 3. Ломаная состоит из четырёх звеньев. Три её звена имеют длины 3 см, 6 см и 8 см, а длина всей ломаной равна 25 см. Найдите длину четвёртого звена. Для начала найдём, сколько вместе составляют известные звенья. Затем сравним эту сумму с длиной всей ломаной: разность и будет длиной неизвестного отрезка.

1. Складываем известные длины: 3 + 6 + 8 = 17 см.
2. Вычитаем сумму известных звеньев из общей длины: 25 − 17 = 8 см.
3. Проверяем: 17 см + 8 см = 25 см, значит, результат подходит.

Ответ: длина четвёртого звена равна 8 см.

Типичные ошибки

Иногда вершинами считают только точки внутри ломаной и забывают её начало и конец. Так происходит, потому что внутренние точки особенно заметны: в них меняется направление. Проверьте себя, пройдя по фигуре от одного конца до другого и назвав каждую точку, включая крайние.

Другое заблуждение — считать звеньями отдельные точки или всю ломаную целиком. Но звено — это именно отрезок между двумя соседними вершинами. Чтобы проверить ответ, спросите себя, можно ли измерить названный предмет как отдельный отрезок.

При обозначении ломаной иногда записывают вершины не по порядку. Тогда вместо нужных звеньев могут получиться другие пары точек. Проследите по ломаной от выбранного начала до конца и записывайте букву каждой следующей вершины по пути.

Некоторые находят длину по самому длинному звену или по прямому расстоянию между крайними точками. Эти величины не учитывают весь путь по ломаной. Перечислите звенья по порядку и убедитесь, что длина каждого вошла в сумму ровно один раз.

Связь с другими темами

Для изучения ломаной нужно знать, что такое точка и отрезок, где находятся его концы и как измеряют длину. Важно также уметь пользоваться единицами длины, чтобы складывать значения правильно. Позже ломаные помогут изучать многоугольники и находить периметр фигур. В повседневной жизни похожей линией можно описать маршрут с поворотами, протяжённость дороги, границу участка или контур предмета.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, образующие ломаную, называют её звеньями.
• Общие точки соседних звеньев называют вершинами.
• Ломаную обозначают буквами её вершин в порядке следования.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• У замкнутой ломаной начальная и конечная точки совпадают.