§ 6. Ломаная

Определения и обозначения

Ломаная линия — фигура, составленная из последовательно соединённых отрезков. Это значит, что отрезки идут один за другим и соседние отрезки имеют общую точку. Так получается одна линия, а не набор отдельных отрезков, лежащих рядом. Например, если отрезок заканчивается в точке B, следующий может начинаться в той же точке.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих её. Соседние звенья соединяются концами, поэтому от одного отрезка можно пройти к следующему. Слово «звено» помогает говорить об отдельной части ломаной, не путая её со всей фигурой. Например, у ломаной ABCD звеньями будут отрезки AB, BC и CD.

Вершина ломаной — точка соединения соседних звеньев. У незамкнутой ломаной её начальная и конечная точки тоже считаются вершинами, хотя в каждой из них соединяется только одно звено. Поэтому вершинами ломаной ABCD являются A, B, C и D. Это определение нужно, чтобы правильно обозначать и пересчитывать точки ломаной.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Чтобы найти её, нужно измерить каждое звено и сложить результаты: путь проходит по всем отрезкам, а не только от начала до конца. Например, если звенья имеют длины 2 см, 3 см и 4 см, длина ломаной равна 9 см. Ответ записывают в тех же единицах, в которых измеряли звенья.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, сначала отметь точку и проведи из неё отрезок. Затем начни следующий отрезок точно в конце первого, а третий — в конце второго, и продолжай так же. Совпадение концов важно: если между отрезками оставить промежуток или провести их отдельно, одной непрерывной ломаной не получится. Каждый отрезок, кроме последнего, должен иметь следующий отрезок, который начинается в его конце.

Вершины и звенья удобно определять, двигаясь по ломаной от одного конца к другому. Точки, где заканчивается одно звено и начинается следующее, являются общими вершинами, а отрезки между соседними точками — звеньями. Считай точки отдельно от отрезков: точки показывают вершины, а линии между ними — звенья. У незамкнутой ломаной с четырьмя вершинами будет три звена, потому что между четырьмя точками по порядку расположены три промежутка-отрезка.

Незамкнутая ломаная имеет два разных конца: её последний конец не соединён с началом первого звена. У замкнутой ломаной конец последнего звена совпадает с началом первого, поэтому линия возвращается к исходной точке. Это соединение образует ещё одно звено, и его тоже нужно учитывать при подсчёте. Например, если открыть квадрат по одной стороне, оставшиеся стороны будут незамкнутой ломаной; все четыре стороны вместе образуют замкнутую.

Длина ломаной равна сумме длин звеньев, потому что при движении по ней проходят каждый отрезок целиком. Сначала сложи известные длины, а затем прибавь длину оставшегося звена. Если общая длина известна, а одно звено неизвестно, найди разность между общей длиной и суммой остальных звеньев. Например, если вся ломаная имеет длину 20 см, а известные звенья вместе — 13 см, неизвестное звено равно 20 − 13 = 7 см.

Чтобы начертить ломаную по заданным длинам, выбери начальную точку и отложи первое звено линейкой. Из его конца проведи следующее звено нужной длины, затем продолжай до последнего отрезка; направление можно выбирать самому, если оно не задано. После построения измерь каждое звено ещё раз и сравни результат с условием. Такой контроль помогает заметить ошибку измерения или случайный зазор между отрезками.

Элементы ломаной и их характеристики

Сначала определи, замкнута ли ломаная, затем пересчитай отдельно точки и отрезки. Для вычисления длины выпиши длину каждого звена и сложи их; так проще заметить пропущенное слагаемое.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке ломаная ABCD. Назовите её звенья и вершины. Буквы перечислены в порядке следования точек, поэтому нужно пройти от A к D и посмотреть, какие точки соединены соседними отрезками. Не следует называть звеном точку или соединять отрезком несоседние буквы.

1. Запиши точки по порядку: A, B, C, D. Это вершины ломаной, включая её начальную и конечную точки.
2. Найди отрезки между соседними точками: AB, BC и CD. Каждый такой отрезок является одним звеном.
3. Проверь подсчёт: четыре вершины образуют три промежутка между соседними точками, значит, у ломаной три звена.

Ответ: звенья AB, BC и CD; вершины A, B, C и D.

Задача 2. Длины звеньев ломаной равны 3 см, 5 см и 4 см. Найдите длину ломаной. Мы ищем весь путь по линии, поэтому нельзя выбрать только самое длинное звено или измерять расстояние между концами. Нужно учесть каждый из трёх отрезков.

1. Запиши длины всех звеньев: 3 см, 5 см и 4 см.
2. Сложи числа: 3 + 5 + 4 = 12. Сложение подходит, потому что длина всей линии состоит из длин всех её частей.
3. Укажи единицу измерения: все звенья измерены в сантиметрах, поэтому и длина ломаной выражается в сантиметрах.

Ответ: 12 см.

Задача 3. Длина ломаной из четырёх звеньев равна 26 см. Длины трёх звеньев — 5 см, 7 см и 8 см. Найдите длину четвёртого звена и начертите такую ломаную. Неизвестное звено — часть общей длины, поэтому сначала узнаем, сколько сантиметров составляют три известные части. Затем найдём остаток и используем его при построении.

1. Сложи известные длины: 5 + 7 + 8 = 20 см. Это длина трёх звеньев вместе.
2. Вычти известную сумму из общей длины: 26 − 20 = 6 см. Полученная разность приходится на четвёртое звено.
3. Начерти четыре последовательно соединённых отрезка длиной 5 см, 7 см, 8 см и 6 см. Направления выбери так, чтобы чертёж поместился на листе.
4. Измерь каждое звено линейкой и сложи длины: 5 + 7 + 8 + 6 = 26 см. Проверка подтверждает, что длина построенной ломаной соответствует условию.

Ответ: четвёртое звено равно 6 см; начерченная ломаная должна состоять из звеньев 5 см, 7 см, 8 см и 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вершинами только точки поворота и не включать концы незамкнутой ломаной. Так делают, потому что концы не соединяют два звена, но по определению они всё равно являются вершинами. Проверь себя: пройди линию от начала до конца и пересчитай все точки, включая первую и последнюю.

Ошибка: при подсчёте звеньев считать вершины или промежутки неправильно. Звено — это отрезок между соседними вершинами, а не сама точка. Чтобы проверить число звеньев, пересчитай отрезки отдельно; у незамкнутой ломаной их должно быть на одно меньше, чем вершин.

Ошибка: находить длину ломаной по прямому расстоянию между её концами. Этот отрезок может быть короче пути, потому что ломаная меняет направление и проходит по нескольким звеньям. Сверься с определением: измерь каждое звено и сложи все результаты, а не измеряй только расстояние от начала до конца.

Ошибка: у замкнутой ломаной не учитывать отрезок, который соединяет конец последнего звена с началом первого. Его могут не заметить, если начинают считать с одной стороны и останавливаются до возвращения к начальной точке. Проверь, замкнулась ли линия, и при подсчёте пройди её полностью по кругу, учитывая каждую сторону один раз.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и как измерить его длину линейкой. Эти умения позволяют строить звенья нужного размера и находить длину всей линии. Если сложить длины сторон многоугольника, получится его периметр: стороны образуют замкнутую ломаную. Построение и измерение звеньев также пригодится при работе с чертежами и геометрическими фигурами.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, составляющие ломаную, называются её звеньями.
• Точки соединения звеньев и концы незамкнутой ломаной являются вершинами.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.