6.1. Что такое ломаная?

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из нескольких отрезков, соединённых последовательно так, что конец каждого, кроме последнего, совпадает с началом следующего. Например, отрезки AB и BC образуют ломаную ABC: они встречаются в точке B. Это определение помогает отличить ломаную от случайного набора отдельных отрезков.

Звенья ломаной — отрезки, из которых она состоит. Каждое звено соединяется концом с началом следующего, поэтому они образуют одну непрерывную фигуру. Названия звеньев записывают по порядку: у ломаной ABCD это AB, BC и CD.

Вершины ломаной — точки, в которых соединяются соседние звенья, а также концы ломаной. В ломаной ABCD точка B соединяет звенья AB и BC, а точки A и D являются её концами. Знание вершин позволяет точно описать фигуру и посчитать её звенья.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины 2 см, 4 см и 3 см, длина ломаной равна 2 + 4 + 3 = 9 см. Это правило нужно, чтобы измерить всю ломаную, а не расстояние напрямую между её концами.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, сначала берут отрезок, а затем добавляют следующий так, чтобы его конец совпал с концом первого. Каждый новый отрезок присоединяют к предыдущему, продолжая цепочку. Поэтому фигура получается непрерывной: по ней можно пройти от одного конца до другого, не отрываясь от линии. Если отрезки просто нарисованы рядом и не соединены концами, это набор отрезков, а не одна ломаная.

Общий конец двух соседних звеньев становится заметной точкой поворота линии. Такую точку называют вершиной, потому что в ней встречаются части ломаной. Чтобы найти вершины на рисунке, нужно проследить путь от начала до конца и отметить все места соединения. У незамкнутой ломаной также отмечают оба края пути: они тоже являются вершинами, хотя к ним подходит только по одному звену.

Если при движении по ломаной можно вернуться в исходную точку, не отрываясь от неё, ломаная замкнутая: её начало и конец совпадают. Если путь заканчивается в точке, отличной от начальной, ломаная незамкнутая. Проверять нужно именно совпадение крайних точек, а не то, насколько близко они нарисованы. У замкнутой ломаной крайние вершины — одна и та же точка.

Длина показывает, сколько составляют все звенья вместе, поэтому её находят сложением. Сначала измеряют каждое звено линейкой, затем записывают длины с одинаковыми единицами измерения и складывают. Нельзя измерить только расстояние от начала до конца: этот отрезок обычно не проходит по всей ломаной и не учитывает её повороты. Если изменилось одно звено, нужно заменить в сумме только его длину.

Число вершин связано с числом звеньев способом соединения. У незамкнутой ломаной первое звено начинается в одной вершине, каждое следующее добавляет новую, а в итоге вершин на одну больше, чем звеньев. Например, четыре звена образуют пять вершин. У замкнутой ломаной последний конец возвращается в начальную вершину, поэтому каждая вершина соединяет два звена и числа звеньев и вершин равны.

Сравнение незамкнутой и замкнутой ломаных

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить вид ломаной: проверь, соединены ли её крайние точки. Затем сравни число звеньев и вершин с подходящей строкой. Длину в обоих случаях находят одинаково — складывают длины всех звеньев.

Разбор задач

На рисунке последовательно соединены точки A, B, C и D отрезками AB, BC и CD. Назовите звенья и вершины ломаной. Важно проследить порядок точек: от A линия идёт к B, затем к C и заканчивается в D. Крайние точки тоже нужно включить в список вершин.

1. Записываем отрезки в том порядке, в котором они соединены: AB, BC, CD.
2. Находим точки соединения звеньев: это B и C.
3. Добавляем концы ломаной A и D, потому что они также являются вершинами.

Ответ: звенья — AB, BC и CD; вершины — A, B, C и D.

Незамкнутая ломаная состоит из четырёх звеньев. Сколько у неё вершин? Сколько звеньев будет у замкнутой ломаной с таким же числом вершин? Сначала используем правило для незамкнутой ломаной: вершин на одну больше, чем звеньев. Затем применим правило для замкнутой, у которой число звеньев и вершин одинаково.

1. У незамкнутой ломаной 4 + 1 = 5 вершин.
2. Для замкнутой ломаной берём те же 5 вершин.
3. У замкнутой ломаной звеньев столько же, сколько вершин: 5.

Ответ: у незамкнутой ломаной 5 вершин; у замкнутой с таким же числом вершин 5 звеньев.

Длины звеньев равны 3 см, 5 см, 2 см и 4 см. Найдите длину ломаной, а затем пересчитайте её длину, если последнее звено заменить звеном длиной 7 см. Складывать нужно все четыре звена. Во втором случае три первые длины остаются прежними, меняется только последнее слагаемое.

1. Складываем исходные длины: 3 + 5 + 2 + 4 = 14 см.
2. Заменяем 4 см на 7 см и записываем новую сумму: 3 + 5 + 2 + 7.
3. Складываем: 3 + 5 + 2 + 7 = 17 см.

Ответ: первоначальная длина — 14 см; после замены звена — 17 см.

Типичные ошибки

Иногда ломаной называют любые несколько отрезков, даже если они не соединены. Так происходит, когда смотрят на каждый отрезок отдельно и не проверяют, как расположены их концы. Проверь фигуру по порядку: конец одного звена должен совпадать с началом следующего. Если между соседними отрезками есть промежуток, непрерывной ломаной нет.

При подсчёте вершин часто отмечают только места соединения звеньев и забывают концы незамкнутой ломаной. Возможно, крайние точки не выглядят как точки поворота, но они всё равно являются вершинами. Проведи пальцем по пути от начала до конца и посчитай также начальную и конечную точки. Например, четыре звена незамкнутой ломаной должны давать пять вершин.

Замкнутую ломаную путают с незамкнутой, если смотрят только на форму линии, а не на её крайние точки. Линия может выглядеть почти замкнутой, но маленький промежуток означает, что начало и конец не совпадают. Для проверки сравни именно эти две точки. Если они одна и та же точка, ломаная замкнутая; если разные — незамкнутая.

Ещё одна ошибка — искать длину по прямому расстоянию между концами или пропускать одно из звеньев. Прямой путь не повторяет повороты ломаной, поэтому обычно даёт другую величину. Запиши длину каждого звена отдельным слагаемым и пересчитай их количество: слагаемых должно быть столько же, сколько звеньев. После этого проверь сложение и единицы измерения.

Связь с другими темами

Чтобы изучать ломаную, нужно уметь узнавать отрезок, находить его концы и измерять длину. Эти знания помогают определить, соединены ли отрезки правильно, и вычислить длину всей фигуры. Если пока трудно измерять отрезки, потренируйся пользоваться линейкой и записывать результат в сантиметрах или миллиметрах.

Ломаная пригодится при изучении многоугольников. Их граница состоит из отрезков, соединённых концами, то есть образует замкнутую ломаную. Поэтому умение находить звенья и вершины поможет описывать стороны и углы многоугольника, а сложение длин звеньев — находить длину его границы.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются её звеньями.
• Точки соединения звеньев и концы ломаной — её вершины.
• У незамкнутой ломаной начало и конец не совпадают.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.