6.2. Длина ломаной

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из нескольких отрезков, соединённых последовательно. Конец одного отрезка совпадает с концом следующего, поэтому получается непрерывная линия из прямых частей. Такие части не обязательно лежат на одной прямой: ломаная может менять направление. Понятие ломаной помогает описывать фигуры и пути, состоящие из отдельных прямых участков.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. Например, у ломаной ABC два звена: AB и BC; буквы показывают концы соответствующих отрезков. Соседние звенья соединяются концами: отрезки AB и BC имеют общую точку B. Это название удобно, когда нужно перечислить части ломаной и не забыть ни одну из них.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Она зависит от длины каждого отрезка, а не от того, под каким углом звенья соединены и как выглядит вся фигура. Например, если звенья имеют длины 3 см и 5 см, то длина ломаной равна 8 см при любой её форме. Это правило позволяет находить общую длину пути по отдельным участкам.

Как это устроено

Чтобы найти длину ломаной, сначала нужно определить длину каждого её звена. Если значения даны в задаче, их выписывают; если длины показаны на чертеже, отрезки можно измерить линейкой. Это необходимо потому, что общая длина складывается из длин отдельных частей, а без длины хотя бы одного звена сумму нельзя составить полностью. Удобно отмечать каждое найденное значение рядом с соответствующим отрезком.

Длины звеньев складывают, потому что ломаная состоит из отдельных отрезков, соединённых один за другим. Чтобы пройти всю ломаную, нужно преодолеть сначала одно звено, затем следующее и так далее. Общая длина поэтому включает путь по каждому из этих участков. Например, два последовательных участка длиной 3 см и 5 см вместе составляют 8 см.

У ломаной ABC звенья — AB и BC, поэтому её длину записывают так: AB + BC. Здесь AB и BC обозначают длины соответствующих отрезков, а знак «+» показывает, что складываются оба участка. Если звеньев больше, в сумму добавляют длину каждого следующего отрезка. Например, длина ABCD равна AB + BC + CD.

Если длины звеньев неизвестны, их можно измерить линейкой или найти по данным условия задачи. При измерении совместите начало шкалы линейки с одним концом отрезка и прочитайте деление у другого конца. Иногда задача сообщает длины не всех звеньев, но даёт общую длину или другие сведения, по которым можно вычислить недостающее значение. Полученные длины складывают только после того, как они выражены в одинаковых единицах.

Для ломаной с большим числом звеньев способ остаётся тем же: надо сложить длины всех её отрезков. Чтобы не пропустить звено, можно последовательно идти от первого конца ломаной к последнему и отмечать уже учтённые отрезки. Каждое звено включают в сумму ровно один раз, даже если его можно назвать в обратном порядке: отрезки AB и BA — это один и тот же отрезок. Такая проверка помогает избежать лишних и пропущенных слагаемых.

Как записать длину ломаной

В таблице показано, какие отрезки нужно сложить для ломаных ABC и ABCD. Сначала найдите в строке названия все звенья, а затем проверьте, что каждое из них вошло в выражение. По такому же правилу можно записать сумму для ломаной с любым количеством звеньев.

Разбор задач

Задача 1

Длины звеньев ломаной ABC равны 3 см и 5 см. Найдите длину ломаной. Ломаная ABC состоит из двух отрезков — AB и BC, поэтому требуется найти общую длину обоих участков. Сложим данные значения, не забывая указать единицу измерения.

1. Записываем длины звеньев: 3 см и 5 см.
2. Составляем сумму: 3 + 5.
3. Вычисляем: 3 + 5 = 8.

Ответ: длина ломаной равна 8 см. Проверка проста: оба звена учтены по одному разу. Значит, сумма охватывает всю ломаную.

Задача 2

Ломаная ABCD состоит из звеньев длиной 2 см, 4 см и 3 см. Найдите её длину. Здесь три звена, и для общей длины нужно использовать все три значения. Если сложить только два числа, получится длина лишь части ломаной, поэтому сначала запишем полную сумму.

1. Перечисляем длины всех звеньев: 2 см, 4 см и 3 см.
2. Записываем их сумму: 2 + 4 + 3.
3. Складываем по порядку: 2 + 4 = 6, затем 6 + 3 = 9.

Ответ: длина ломаной ABCD равна 9 см. Все три звена вошли в выражение. Порядок сложения можно менять, но ни одно слагаемое нельзя пропускать.

Задача 3

Длина ломаной ABCD равна 15 см. Два её звена имеют длины 4 см и 6 см. Найдите длину третьего звена. Общая длина состоит из трёх звеньев, а два значения уже известны. Сначала выясним, какую часть длины составляют известные отрезки, а затем отделим её от полной длины.

1. Обозначим неизвестную длину звена буквой x и запишем: 4 + 6 + x = 15.
2. Сложим длины известных звеньев: 4 + 6 = 10 см.
3. Вычтем их сумму из общей длины: 15 − 10 = 5 см.

Ответ: третье звено имеет длину 5 см. Проверим результат: 4 + 6 + 5 = 15 см. Сумма совпала с длиной всей ломаной, значит, вычисление верно.

Типичные ошибки

Пропускают звено. Так бывает, если считают отрезки на чертеже невнимательно или переходят сразу к сложению. В результате общая длина получается меньше настоящей. Проверьте себя: проследите ломаную от одного конца до другого и сопоставьте каждое звено с отдельным слагаемым.

Учитывают одно звено дважды. Это может произойти, если один и тот же отрезок записать сначала как AB, а затем как BA. Но обозначения AB и BA относятся к одному отрезку, а не к двум разным. Сверьте каждое слагаемое со схемой и убедитесь, что ни один участок не повторяется.

Считают длиной ломаной длину одного звена. Иногда в ответ записывают только самый заметный или самый длинный отрезок. Тогда остальные части пути не учитываются, хотя они тоже входят в ломаную. Проверьте, перечислены ли все звенья и сложены ли их длины.

Складывают значения в разных единицах. Например, сантиметры нельзя сразу складывать с метрами как обычные числа: единицы обозначают разные величины. Такую ошибку допускают, когда переписывают данные задачи без проверки обозначений. Перед вычислением переведите все длины в одну единицу, а после сложения запишите её в ответе.

Связь с другими темами

Чтобы найти длину ломаной по чертежу, нужно уметь измерять отрезки линейкой и записывать их длины в одинаковых единицах. Эти навыки нужны и в задачах на длину пути, когда маршрут состоит из нескольких прямых участков. Правило сложения звеньев пригодится при нахождении периметра многоугольника: его стороны образуют замкнутую ломаную, и их длины складывают. Поэтому умение аккуратно перечислять и складывать отрезки помогает решать задачи и по геометрии, и из повседневной жизни.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, составляющие ломаную, называют её звеньями.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• Каждое звено при подсчёте учитывают ровно один раз.
• Перед сложением длины звеньев должны быть выражены в одинаковых единицах.