"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Ломаная линия — это несколько отрезков, соединённых последовательно. Она помогает описывать путь, который меняет направление, и находить его общую длину: например, длину маршрута по поворотам или периметр многоугольника. Чтобы получить длину ломаной, измеряют каждое её звено и складывают результаты. При этом прямая между начальной и конечной точками не длиннее такого пути.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная линия — фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Это значит, что конец одного отрезка совпадает с началом следующего, поэтому отрезки образуют путь с возможными поворотами. Такое представление помогает описывать не только прямые отрезки, но и составные пути.
Звено ломаной — каждый отдельный отрезок, входящий в её состав. Звенья удобно обозначать по их концам, например AB и BC, если они соединены в точке B. Такое обозначение помогает не перепутать отрезки, длины которых нужно измерить.
Вершина ломаной — точка соединения двух соседних звеньев или конец ломаной. Вершины показывают, где путь начинается, заканчивается или меняет направление. Если звенья обозначены AB и BC, их общей вершиной будет точка B.
Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины l₁, l₂, …, lₙ, то длина ломаной L = l₁ + l₂ + … + lₙ. Это определение нужно, чтобы находить полную длину пути, а не только расстояние между его концами.
Чтобы построить ломаную, сначала выбирают несколько точек, а затем соединяют каждую пару соседних точек отрезком. Слово «соседних» здесь важно: если соединять точки не по порядку, получится другая фигура. Например, точки A, B, C и D дают ломаную ABCD, если соединить AB, затем BC и затем CD.
Каждый отрезок в такой последовательности называют звеном, потому что он связан с соседними частями фигуры и входит в единый путь. Точка, где заканчивается одно звено и начинается следующее, называется вершиной: именно в ней происходит соединение. У незамкнутой ломаной есть две крайние вершины — начало и конец, а остальные вершины соединяют по два звена.
Длину находят сложением длин звеньев, потому что путь проходит по каждому из них подряд. Если пропустить хотя бы одно звено, часть пути не будет учтена; если сложить одно и то же звено дважды, результат окажется завышенным. Поэтому полезно идти по ломаной от начала к концу и отмечать каждое измеренное звено.
Длину каждого звена можно измерить линейкой или определить по заданным данным. При измерении линейку прикладывают к отрезку так, чтобы отметка нуля совпала с одним его концом, а затем считывают положение другого конца. Все результаты перед сложением записывают в одинаковых единицах: например, сантиметры переводят в миллиметры, если остальные длины даны в миллиметрах.
Ломаная не короче отрезка, соединяющего её начальную и конечную точки. Причина в том, что отрезок задаёт прямой путь между концами, а ломаная проходит через дополнительные точки и меняет направление. Например, на схеме ниже прямая соединяет A и D, а ломаная проходит через B и C; сумма её звеньев не меньше AD.
| Понятие | Что это такое | Как определить или найти |
|---|---|---|
| Звено ломаной | Отрезок, входящий в состав ломаной | Найти соседние вершины и соединяющий их отрезок |
| Вершина ломаной | Точка соединения звеньев или конец ломаной | Отметить точки соединения и крайние точки |
| Начальная и конечная точки | Точки, с которых начинается и которыми заканчивается незамкнутая ломаная | Проследить ломаную от первого звена к последнему |
| Ломаная линия | Последовательность соединённых отрезков | Проверить, что конец каждого звена совпадает с началом следующего |
| Длина ломаной | Сумма длин всех звеньев | Измерить каждое звено и сложить длины |
| Замкнутая ломаная | Ломаная, у которой начальная и конечная точки совпадают | Проверить, соединено ли последнее звено с первым |
Сначала определите, какие точки являются вершинами и какие отрезки — звеньями. Затем измерьте или найдите длину каждого звена и приведите все значения к одинаковым единицам. Для замкнутой ломаной не забудьте учесть звено, которое соединяет последнюю вершину с первой.
Задача 1. Дана ломаная из трёх звеньев длиной 3 см, 5 см и 4 см. Найдём её длину. Поскольку весь путь состоит ровно из этих звеньев, требуется сложить все три длины, не пропуская ни одного отрезка.
Ответ: 12 см.
Задача 2. На клетчатой бумаге изображена ломаная ABCD. Нужно найти её длину по горизонтальным и вертикальным звеньям. Здесь направление не меняет способ подсчёта: каждое звено измеряется по числу клеток, а затем полученные длины складываются.
Ответ: длина ломаной равна сумме длин AB, BC и CD. Численное значение зависит от количества клеток на конкретном чертеже; его нельзя определить без самого изображения или указанных длин звеньев.
Задача 3. Сравним длину ломаного маршрута между двумя точками с длиной отрезка, соединяющего эти точки. Обозначим звенья маршрута последовательно и назовём его концы A и D. Прямой отрезок AD соединяет те же точки без промежуточных поворотов.
Ответ: длина ломаного маршрута не меньше длины AD. Если маршрут сам является прямым отрезком, длины равны; при поворотах путь может быть длиннее.
Иногда складывают только первое и последнее звенья, забывая о промежуточных. Так бывает, когда ученик сосредоточен на крайних точках и не прослеживает весь путь. Проверьте себя: перечислите звенья по порядку и поставьте отметку у каждого после включения его длины в сумму.
Другая ошибка — сложить сантиметры и миллиметры как числа, не переводя их в одинаковые единицы. Например, 2 см + 5 мм — это не 7 единиц, потому что единицы разного размера. Перед вычислением переведите всё в миллиметры или всё в сантиметры; обратная проверка — убедиться, что каждый член суммы выражен одинаково.
Можно перепутать число вершин с числом звеньев. У незамкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин: соседние вершины образуют звено, а крайние точки не создают дополнительного отрезка между собой. Проверьте подсчёт на ломаной ABCD: четыре вершины A, B, C, D образуют три звена AB, BC и CD.
Расстояние между концами иногда принимают за длину всей ломаной. Это неверно, если между концами путь меняет направление: прямой отрезок не учитывает обход через промежуточные вершины. Чтобы проверить ответ, посчитайте длину каждого звена; сумма должна быть не меньше длины прямого отрезка между концами.
Для работы с ломаной нужно уметь измерять отрезки линейкой и пользоваться единицами длины. Если линейка показывает сантиметры и миллиметры, важно правильно считывать отметки. Навык измерения позволяет определить длину каждого звена, когда она не дана в условии.
Также понадобятся сложение натуральных чисел и перевод единиц длины. Сложение даёт общую длину пути, а перевод единиц позволяет выполнить его без ошибок, если звенья измерены по-разному. Перед вычислением удобно выбрать одну единицу и выразить в ней все слагаемые.
Длина ломаной пригодится при нахождении периметра многоугольника: его граница образует замкнутую ломаную. То же правило помогает сравнивать разные маршруты между двумя точками. При этом прямое расстояние между точками не следует путать с длиной пути по поворотам.
Нужно ли считать конечные точки вершинами ломаной?
Да, начальную и конечную точки незамкнутой ломаной обычно тоже называют её вершинами. В них заканчивается первое и начинается последнее звено соответственно. Поэтому у незамкнутой ломаной число звеньев на одно меньше числа вершин.
Как найти длину ломаной, если её звенья расположены под разными углами?
Нужно измерить длину каждого звена независимо от его направления. Затем сложить все полученные длины. Угол между звеньями на правило сложения не влияет.
Можно ли складывать длины звеньев, записанные в сантиметрах и миллиметрах?
Складывать можно, если сначала выразить все длины в одинаковых единицах. Например, 2 см — это 20 мм, поэтому к 7 мм можно прибавить 20 мм. После сложения ответ можно перевести обратно в сантиметры и миллиметры.
Чем длина ломаной отличается от расстояния между её концами?
Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев, то есть длина пути с поворотами. Расстояние между концами — длина прямого отрезка, соединяющего начальную и конечную точки. Оно не больше длины ломаной.
Как находят длину замкнутой ломаной?
Измеряют все звенья замкнутой ломаной, включая последнее звено, которое соединяет конечную точку с начальной. Затем складывают их длины. Такая длина является периметром многоугольника, если ломаная образует его границу.
Длина ломаной
