"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Ломаная состоит из отрезков, соединённых последовательно. Каждый такой отрезок называют звеном, а точки соединения — вершинами. Длина ломаной показывает общую длину её пути и находится сложением длин всех звеньев. Чтобы вычислить её правильно, нужно учесть каждое звено один раз и выразить все длины в одинаковых единицах. Длина ломаной может быть больше расстояния между её концами: это разные величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков. Иными словами, отрезки образуют одну непрерывную линию, а не набор отдельных частей. По этому признаку можно отличить ломаную от нескольких несвязанных отрезков. Ломаные встречаются в геометрических фигурах и помогают описывать путь, состоящий из прямых участков.
Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. Например, если ломаная состоит из четырёх отрезков, у неё четыре звена. Это название нужно, чтобы говорить о частях ломаной и указывать, длину какого именно отрезка мы рассматриваем. Длину каждого звена измеряют или находят отдельно.
Вершина ломаной — точка, в которой соединяются соседние звенья; концы ломаной также являются её вершинами. Вершины показывают, где заканчивается один участок и начинается следующий. Они помогают перечислить звенья по порядку и проверить, не пропущен ли отрезок. У ломаной из нескольких звеньев две крайние вершины находятся на её концах.
Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Поэтому для её нахождения нужно знать длину каждой части, а не только расстояние между крайними точками. Это определение позволяет вычислить общую длину пути из прямых участков. Если какое-то звено неизвестно, его можно найти, зная общую длину и остальные звенья.
Чтобы отрезки образовали ломаную, конец одного звена должен совпадать с началом следующего. Тогда между соседними участками нет разрыва, и по ним можно пройти, не отрываясь от линии. Место их соединения является общей вершиной. Если отрезки не имеют таких общих точек, они не составляют одну ломаную.
Длину ломаной находят так: измеряют или узнают длины всех звеньев, а затем складывают их. Такой способ работает потому, что весь путь состоит именно из этих отдельных участков. Например, если звено имеет длину 3 см, а следующее — 5 см, вместе они составляют путь длиной 8 см. Для ломаной из нескольких звеньев правило остаётся тем же.
При сложении каждое звено учитывают ровно один раз, поскольку оно является отдельной частью общего пути. Если пропустить отрезок, результат окажется меньше настоящей длины, а если посчитать его дважды — больше. Расстояние между несоседними вершинами не включают: оно не является частью ломаной и не проходится при движении по её звеньям. Поэтому полезно мысленно пройти ломаную от одного конца до другого.
Порядок сложения длин не влияет на результат: например, 2 + 4 + 3 даёт ту же сумму, что 3 + 2 + 4. Это свойство сложения позволяет выбирать удобный порядок вычислений. Но единицы измерения у всех слагаемых должны совпадать, иначе складываются разные по величине единицы. Если длины даны в сантиметрах и дециметрах, сначала переводят их в одну меру.
Длина ломаной и расстояние между её концами — не одно и то же. Длина ломаной учитывает все её звенья, а расстояние между концами показывает длину прямого отрезка между крайними вершинами. Если ломаная изгибается, её звенья могут вместе оказаться длиннее этого отрезка. Поэтому для длины ломаной складывают звенья, а не измеряют только промежуток между концами.
| Что рассматриваем | Что указать или сделать |
|---|---|
| Звенья | Перечислить все отрезки ломаной |
| Длины звеньев | Записать длину каждого отрезка в одинаковых единицах |
| Длина ломаной | Сложить длины всех звеньев |
| Проверка | Убедиться, что ни одно звено не пропущено и не посчитано дважды |
Пользуйся таблицей как коротким планом решения: сначала перечисли звенья, затем запиши их длины в одной единице измерения. После сложения сверь результат с ломаной, проходя её от конца к концу. Так проще заметить пропуск или повторный подсчёт.
Ломаная состоит из трёх звеньев длиной 2 см, 4 см и 3 см. Найдём её длину. Все данные уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно сразу складывать. Каждая из трёх длин соответствует отдельному звену.
Ответ: длина ломаной равна 9 см.
Длины звеньев равны 1 дм 4 см, 8 см и 6 см. Требуется найти длину ломаной в сантиметрах. Нельзя складывать 1 дм 4 см с числами 8 и 6 как обычные числа: сначала всю длину нужно выразить в сантиметрах. После перевода все слагаемые будут одной и той же мерой.
Ответ: длина ломаной равна 28 см.
Длина ломаной из четырёх звеньев равна 25 см, а длины трёх звеньев — 5 см, 7 см и 8 см. Нужно найти четвёртое звено. Сначала узнаем, какую часть общей длины составляют известные звенья. Затем вычтем эту сумму из длины всей ломаной.
Ответ: длина четвёртого звена равна 5 см.
Можно сложить не все звенья и получить слишком маленькую длину. Это случается, когда при чтении чертежа взгляд перескакивает через один из отрезков. Чтобы проверить себя, последовательно пройди ломаную от одного конца к другому и отметь каждое звено в списке. Число учтённых отрезков должно совпасть с числом звеньев.
Другое затруднение — посчитать одно звено дважды, особенно если ломаную обходят без установленного порядка. Тогда сумма окажется завышенной. Начинай от одного конца и двигайся к другому, отмечая уже учтённые звенья. Перед сложением сверь список с самой ломаной.
Нельзя складывать числа, если длины выражены в разных единицах, например сантиметрах и дециметрах. Такая ошибка возникает, когда единицы измерения записывают отдельно от чисел и забывают о них. Сначала переведи все значения в одну меру, а затем выполни сложение. В конце проверь, что у ответа указана эта же единица.
Расстояние между концами ломаной иногда принимают за её длину. Это не так: прямой отрезок между концами не включает остальные звенья, по которым проходит ломаная. Ошибка возникает, если смотреть только на крайние точки. Для проверки перечисли все звенья и сложи их длины, не заменяя ломаную прямым отрезком.
Для работы с длиной ломаной нужно уметь распознавать отрезок, измерять его длину и складывать величины длины. Если эти навыки освоены, остаётся внимательно пересчитать звенья и проверить единицы измерения. Такое сложение встречается и в задачах о пути, который состоит из отдельных прямых участков. Оно связывает измерение отрезков с вычислением общей длины фигуры.
Периметр многоугольника — это длина его границы. Эту границу можно рассматривать как замкнутую ломаную: её звеньями служат стороны многоугольника. Поэтому периметр находят сложением длин сторон. Правило нахождения длины ломаной становится основой для такого вычисления.
Что называют ломаной?
Ломаная — это фигура из последовательно соединённых отрезков. Конец одного отрезка совпадает с началом следующего.
Как называются отрезки, из которых состоит ломаная?
Каждый отрезок, составляющий ломаную, называется её звеном. Соседние звенья соединяются в общей вершине.
Как найти длину ломаной?
Нужно узнать длину каждого звена и сложить все полученные значения. Каждое звено учитывают ровно один раз.
Нужно ли переводить длины в одинаковые единицы перед сложением?
Да, все слагаемые должны быть выражены в одинаковых единицах. Например, дециметры можно перевести в сантиметры, а затем сложить длины.
Чем длина ломаной отличается от расстояния между её концами?
Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Расстояние между концами — это длина отдельного отрезка, соединяющего эти точки, и оно не обязательно равно длине ломаной.
Длина ломаной
