"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Ломаная линия состоит из отрезков, соединённых последовательно: конец одного звена становится началом следующего. Она может быть незамкнутой или замкнутой, а её длину находят сложением длин всех звеньев. Умение распознавать вершины и звенья помогает описывать фигуру, решать задачи на измерение и в дальнейшем находить периметр многоугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная линия — фигура, составленная из отрезков, соединённых последовательно: конец одного отрезка является началом следующего. Поэтому отрезки образуют одну непрерывную линию, а не просто расположены рядом. Это определение помогает проверить, действительно ли перед нами ломаная.
Звено ломаной — один из отрезков, из которых она составлена. Например, в ломаной ABCD звеньями будут отрезки AB, BC и CD. Слово «звено» позволяет говорить об отдельных частях фигуры и находить их длины.
Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев. У незамкнутой ломаной есть ещё начальная и конечная точки: к каждой из них подходит только одно звено. Различать вершины и концы нужно, чтобы правильно описывать и пересчитывать ломаную.
Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины 2 см, 3 см и 4 см, то длина ломаной равна 2 + 3 + 4 = 9 см. Это понятие нужно, когда требуется узнать, сколько составляет весь путь по ломаной линии.
Чтобы получить ломаную из нескольких отрезков, их соединяют по очереди: конец первого должен совпасть с началом второго, конец второго — с началом третьего и так далее. Именно общие концы обеспечивают непрерывность линии, по которой можно пройти от начала до конца. Отрезки, которые не стоят рядом в этой последовательности, не обязаны соединяться друг с другом.
Считать звенья удобно, проходя ломаную от одного конца к другому и отмечая каждый отрезок один раз. Вершинами будут точки стыка соседних звеньев, а у незамкнутой ломаной также два свободных конца. Поэтому у незамкнутой ломаной из n звеньев n + 1 вершина: к n точкам соединения добавляются начальная и конечная точки.
Ломаная называется незамкнутой, если её начальная и конечная точки различны. Если при движении по звеньям удаётся вернуться в начальную точку, ломаная замкнутая. Такое различие важно при подсчёте вершин: у замкнутой линии начальная точка одновременно является конечной, поэтому её не считают дважды.
Чтобы найти длину ломаной, нужно измерить или узнать длину каждого её звена, а затем сложить все значения. Складывают именно длины отдельных отрезков, потому что вся фигура состоит из этих частей. Например, если звенья равны 3 см, 4 см и 6 см, то длина равна 3 + 4 + 6 = 13 см.
Ломаная может пересекать себя: одно звено способно проходить через точку другого звена. Однако вершина возникает только там, где соединены концы соседних звеньев. Поэтому пересекающиеся отрезки не становятся соединёнными звеньями автоматически: при подсчёте нужно смотреть на их концы и порядок соединения.
Сравни признаки в таблице, чтобы определить вид ломаной и не перепутать точки с отрезками. При подсчёте сначала выясни, замкнута ли линия, а затем пересчитай её звенья и вершины. Для длины отдельно найди длину каждого звена и сложи результаты.
| Вид или характеристика | Как распознать | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Незамкнутая ломаная | Начальная и конечная точки различны | У неё два конца, к каждому подходит по одному звену |
| Замкнутая ломаная | Начальная точка совпадает с конечной | При обходе начальную точку считают один раз |
| Число звеньев и вершин | Звенья — отрезки, вершины — точки соединения | У незамкнутой из n звеньев n + 1 вершина; у замкнутой числа равны |
| Длина ломаной | Сумма длин всех звеньев | Нужно учесть каждое звено один раз |
Задача 1. На рисунке ломаная ABCD. Назовите её звенья, вершины, начальную и конечную точки. Чтобы ответить, нужно проследить линию по порядку букв и отделить соединяющие точки от самих отрезков. Обозначение ABCD задаёт последовательность прохождения ломаной от A к D.
Ответ: звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D; начальная точка A, конечная точка D. Здесь три звена и четыре вершины, что соответствует правилу для незамкнутой ломаной.
Задача 2. Длины трёх последовательных звеньев равны 3 см, 4 см и 6 см. Найдите длину ломаной. Поскольку весь путь состоит из этих трёх отрезков, надо сложить их длины. Расстояние между концами ломаной для этого вычислять не нужно.
Ответ: длина ломаной равна 13 см. Проверка проста: в сумме учтены все три звена, каждое ровно один раз.
Задача 3. У замкнутой ломаной четыре звена длиной 2 см, 3 см, 5 см и 4 см. Сколько у неё вершин и чему равна её длина? В замкнутой линии начальная точка при обходе совпадает с конечной, поэтому её нельзя посчитать дважды. Длину, как и для незамкнутой ломаной, получаем сложением звеньев.
Ответ: четыре вершины, длина ломаной — 14 см. Начальную точку не добавляем к числу вершин отдельно: она уже входит в эти четыре вершины.
Ошибка — считать точку пересечения звеньев вершиной. Так происходит, потому что пересечение на рисунке похоже на соединение, но вершина образуется только при соединении концов соседних звеньев. Проверь, заканчивается ли в этой точке одно звено и начинается ли следующее.
Иногда звенья и вершины путают: звено — это отрезок, а вершина — точка. Их легко пересчитать неправильно, если смотреть на всю линию как на единый объект. Для проверки назови отдельно отрезки и отдельно точки, в которых они соединяются.
При подсчёте вершин замкнутой ломаной можно ошибочно дважды учесть точку, с которой начали обход. Это случается, если записать её и в начале, и в конце последовательности. Замкни обход и помни: совпадающие начальная и конечная точки — одна вершина.
Нельзя находить длину ломаной только по расстоянию между её начальной и конечной точками. Такой отрезок показывает прямое расстояние, а ломаная проходит по нескольким звеньям и может быть длиннее. Проверь себя, перечислив длины всех звеньев и сложив их.
Для изучения ломаной нужно уметь распознавать отрезок, находить его концы и измерять длину. Эти знания позволяют понять, где звенья соединяются, и правильно вычислить длину всей фигуры. Если длина отрезка известна, измерять её повторно не требуется.
Длина ломаной пригодится при изучении периметра многоугольника. Стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную, поэтому его периметр находят сложением длин всех сторон. Нужно лишь не считать повторно вершину, в которой заканчивается обход.
Как отличить ломаную от набора отдельных отрезков?
У ломаной каждый отрезок, кроме первого и последнего, соединён концами с двумя соседними отрезками. Если отрезки просто нарисованы рядом, но их концы не соединены последовательно, это набор отдельных отрезков.
Как посчитать звенья и вершины ломаной?
Звенья считай как отрезки, последовательно проходя по ломаной. У незамкнутой ломаной из n звеньев n + 1 вершина; у замкнутой число вершин равно числу звеньев.
Может ли точка пересечения звеньев быть вершиной?
Само пересечение не делает точку вершиной. Вершина появляется, когда в этой точке соединены концы соседних звеньев.
Как найти длину ломаной?
Нужно узнать длину каждого звена и сложить все полученные числа. Расстояние напрямую между начальной и конечной точками длиной ломаной не является.
Чем замкнутая ломаная отличается от незамкнутой?
У замкнутой ломаной начальная и конечная точки совпадают, а у незамкнутой они различны. При обходе замкнутой ломаной начальную точку в конце повторно не считают.
Ломаная
