"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Кривая — это линия, которая может изгибаться, поэтому её длину измеряют не по прямой между концами, а вдоль самой линии. Для ломаной длину находят сложением длин всех звеньев. Изогнутую линию можно измерить гибкой нитью или приблизить ломаной: чем точнее она повторяет изгибы, тем точнее результат. Эти способы помогают измерять границы фигур, которые нельзя приложить к линейке как прямой отрезок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кривая — линия, которая может быть прямой или изгибаться. Когда мы ищем её длину, нужно измерять путь вдоль самой линии, а не только расстояние между её концами. Это помогает не потерять длину, которая приходится на изгибы.
Ломаная — линия из нескольких отрезков, соединённых концами; каждый отрезок называют звеном. Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Чтобы найти её, измеряют звенья по отдельности и складывают результаты.
Длина кривой — величина, показывающая, сколько составляет путь вдоль всей кривой. Часто её определяют приближённо: заменяют кривую ломаной и находят длину этой ломаной. Если ломаная точнее повторяет изгибы, полученная оценка обычно становится точнее.
Измерить гибкую линию можно с помощью нити. Её укладывают вдоль кривой, отмечают нужный участок, затем распрямляют и измеряют линейкой. Этот способ нужен, когда линию нельзя прямо приложить к линейке, например если она изгибается.
Представь дугу и прямой отрезок, соединяющий её концы. Отрезок не повторяет изгиб дуги, а проходит между концами напрямую, поэтому измеряет только прямое расстояние. Длина кривой — это весь путь вдоль неё, и поэтому обычно она больше расстояния между концами. Чем сильнее линия изгибается, тем заметнее может быть разница.
Чтобы заменить кривую ломаной, выбери на ней несколько точек по порядку, включая начало и конец. Затем соедини каждую точку со следующей прямым отрезком. Отрезки образуют ломаную, которая проходит рядом с исходной линией и позволяет воспользоваться измерением отдельных звеньев.
Длина такой ломаной даёт приближение, потому что прямые звенья не повторяют каждый изгиб кривой. Если поставить мало точек, длинное звено может срезать заметный изгиб. Когда точек больше, звенья становятся короче и лучше следуют форме линии, поэтому оценка длины обычно точнее.
Для измерения нитью уложи её вдоль кривой, не растягивая и не оставляя провисания. Отметь на нити начало и конец нужного участка, затем осторожно сними её и распрями на столе. Измерь расстояние между отметками линейкой: оно покажет длину участка. Натянутая нить может удлиниться, а провисшая не будет точно следовать линии, поэтому оба случая искажают результат.
Способ измерения выбирают по тому, с чем предстоит работать. Если линия гибкая и её можно обвести, удобнее воспользоваться нитью. Если кривая нарисована на бумаге и имеет мелкие изгибы, можно отметить на ней точки и построить ломаную. В обоих случаях результат зависит от аккуратности измерений.
| Что измеряем | Способ | Как получить результат | Что важно учитывать |
|---|---|---|---|
| Ломаная | Измерить каждое звено | Сложить длины всех звеньев | Не пропустить ни одного звена |
| Кривая | Измерить нитью | Уложить нить вдоль линии, распрямить и измерить | Не допускать провисания и натяжения |
| Кривая по чертежу | Приблизить ломаной | Соединить соседние отмеченные точки и сложить длины звеньев | Большее число точек обычно даёт более точное приближение |
Сначала определи, какую линию нужно измерить и можно ли уложить вдоль неё нить. Для ломаной сразу измеряй звенья, а для кривой на рисунке выбирай приближение ломаной. В последнем случае добавляй точки там, где линия заметно меняет направление.
Ломаная состоит из звеньев длиной 3 см, 4 см и 5 см. Найдём длину всей ломаной, сложив длины её звеньев. Сначала проверим, что учли каждое звено, а затем запишем сумму.
Ответ: длина ломаной равна 12 см.
Изогнутую линию измерили нитью: её уложили вдоль линии, а затем распрямили. Длина нити оказалась 12 см. Поскольку нить повторяла путь линии, её длина показывает длину этого участка. Предполагаем, что нить лежала аккуратно — без провисания и натяжения.
Ответ: длина линии равна 12 см.
Нужно оценить длину плавной кривой на рисунке, где её нельзя измерить прямо линейкой. Для этого приблизим линию ломаной и найдём сумму её звеньев. Важно расположить точки так, чтобы ломаная проходила близко к изгибам кривой.
Ответ: длину оценивают по сумме длин звеньев; увеличение числа точек помогает точнее повторить кривую.
Иногда длиной кривой считают прямое расстояние между её концами. Так делают, потому что отрезок легко измерить линейкой, но он не проходит вдоль изгибов. Проверь себя: измеряешь ли ты весь путь по линии или только отрезок между концами?
При вычислении длины ломаной можно измерить не все звенья или забыть сложить результаты. Обычно это происходит, когда считают звенья на глаз и сразу записывают ответ. Проверь список: каждому звену должна соответствовать измеренная длина, и все длины должны войти в сумму.
Нить иногда кладут с провисанием или сильно натягивают. Провисание уводит её от линии, а натяжение может растянуть нить, поэтому измерение перестаёт точно соответствовать исходному пути. Перед измерением убедись, что нить касается линии по всей длине и не растянута.
Ещё одна ошибка — считать длину ломаной точной длиной кривой. Ломаная лишь приближает её, потому что прямые звенья могут срезать изгибы. Чем меньше точек и длиннее звенья, тем хуже может быть приближение; проверь, достаточно ли точно ломаная повторяет форму линии.
Для этой темы пригодятся умения измерять отрезки линейкой и складывать числа с единицами длины. Они нужны и при нахождении длины ломаной: сначала измеряют звенья, затем складывают их. Периметр многоугольника тоже связан с ломаной: его находят как длину замкнутой ломаной, то есть границы, которая возвращается к начальной точке. Измерение кривых пригодится при работе с окружностями и другими фигурами с изогнутыми границами.
Почему длина кривой больше расстояния между её концами?
Расстояние между концами — это длина прямого отрезка, соединяющего их. Длина кривой измеряется вдоль всех её изгибов, поэтому обычно она больше прямого расстояния.
Как найти длину ломаной?
Измерь длину каждого звена ломаной. Затем сложи полученные длины — сумма и будет длиной ломаной.
Как измерить кривую, если её нельзя измерить линейкой напрямую?
Если линию можно обвести нитью, уложи нить вдоль неё, а затем распрями и измерь линейкой. Для кривой на чертеже можно отметить точки и заменить линию ломаной.
Почему длина ломаной не всегда точно совпадает с длиной кривой?
Звенья ломаной соединяют отдельные точки прямыми отрезками и могут срезать изгибы кривой. Поэтому длина такой ломаной даёт приближение, а не точное значение.
Как сделать приближение длины кривой точнее?
Отметь на кривой больше точек и соедини соседние точки отрезками. Тогда звенья будут короче, а ломаная — точнее повторять изгибы линии.
6.3. Длина кривой
