§ 7. Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, попарно соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Эти отрезки замыкают фигуру, поэтому у неё есть внутренняя область. Это определение помогает отличить треугольник от похожего набора точек или незамкнутой линии.

Вершины треугольника — это три точки, в которых соединяются его стороны. Их обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C, а сам треугольник называют △ABC. Буквы позволяют точно указывать, о какой фигуре и её частях идёт речь.

Стороны треугольника — отрезки, соединяющие его вершины: AB, BC и CA. Сторону AB можно обозначить как отрезок AB; говорят, что она принадлежит треугольнику ABC. Такое обозначение помогает отличать отрезок от точки, а также указывать, какую длину нужно сравнить или измерить.

Углы треугольника — углы, образованные его сторонами при вершинах. Их можно обозначать одной буквой, например ∠A, или тремя буквами, например ∠BAC: средняя буква указывает вершину угла. Обозначения нужны, чтобы не путать угол с его сторонами и однозначно находить его на чертеже.

Как это устроено

Возьмём три точки, которые не лежат на одной прямой, и попарно соединим их отрезками. Между каждой парой точек появится свой отрезок, всего их будет три. Они соединятся концами и замкнут фигуру, потому что третья точка не лежит на прямой, проведённой через первые две. Если все точки расположить на одной прямой, отрезки останутся на этой же линии и замкнутой фигуры не получится.

В каждой вершине сходятся две стороны, и там же образуется угол. Поэтому у треугольника три вершины, три стороны и три угла: каждой вершине соответствует один угол и две стороны, а каждой стороне — две конечные вершины. Например, в треугольнике ABC сторона AB соединяет вершины A и B, а угол A образован сторонами AB и AC. Такое соответствие помогает читать чертёж и проверять, что назван именно нужный элемент.

Название треугольника записывают буквами его вершин: △ABC означает фигуру с вершинами A, B и C. Можно также написать △BCA или △CAB — это та же фигура, поскольку набор вершин не изменился. Однако, когда называют стороны и углы, важно сверять буквы с местом элемента: AB соединяет A и B, а ∠A расположен в вершине A. Тогда порядок записи не приведёт к путанице.

По длинам сторон треугольники делят на три вида. Если длины всех сторон разные, треугольник разносторонний; если две стороны равны — равнобедренный; если равны все три — равносторонний. Так можно описать фигуру по тому, какие отрезки имеют одинаковую длину, а не по её внешнему виду.

Другой признак — величина углов. Остроугольный треугольник имеет три острых угла, прямоугольный — один прямой угол, а тупоугольный — один тупой угол. Название показывает, какие углы есть у фигуры, и не сообщает напрямую, равны ли её стороны. Поэтому один и тот же треугольник можно одновременно классифицировать по сторонам и по углам.

Виды треугольников

Сначала выбери признак, по которому нужно определить вид: длины сторон или величины углов. Затем сравни все нужные стороны либо проверь углы и найди подходящее условие в таблице. Если задача требует полной характеристики, используй оба признака.

Разбор задач

Назвать элементы по обозначениям

Условие: на чертеже вершины треугольника обозначены A, B и C. Нужно назвать треугольник, его вершины, стороны и углы. Прочитаем буквы и установим, какие элементы соединены или образованы в каждой точке. Запись элементов сверим с тем, где они расположены.

1. Назовём фигуру △ABC, потому что её вершины — A, B и C.
2. Запишем вершины: A, B, C. Это точки, а не отрезки.
3. Перечислим стороны: AB, BC и CA. Каждая сторона соединяет две соседние вершины.
4. Назовём углы при вершинах: ∠A, ∠B и ∠C. Например, ∠A образован сторонами AB и AC.

Ответ: треугольник ABC; вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы A, B, C. Если в названии фигуры буквы перечислены иначе, всё равно проверяй, что речь идёт о тех же точках. Это особенно полезно, когда на чертеже много отрезков.

Классификация по двум признакам

Условие: длины сторон треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см; один из его углов прямой. Нужно определить вид по сторонам и по углам. Эти сведения относятся к разным признакам, поэтому рассмотрим их по отдельности. Не будем определять вид по тому, как треугольник мог бы выглядеть на рисунке.

1. Сравним длины сторон: две стороны имеют длину 5 см, значит, они равны.
2. Третья сторона равна 8 см и отличается от двух остальных. Следовательно, по сторонам треугольник равнобедренный.
3. По условию один угол прямой, значит, по углам треугольник прямоугольный.
4. Соединим оба названия: равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: равнобедренный по сторонам и прямоугольный по углам. Здесь использованы только данные задачи: две равные стороны и прямой угол. Но стоит проверить, согласуются ли указанные размеры с условием существования такого треугольника: у прямоугольного треугольника стороны должны образовать прямой угол, и одних трёх длин без чертежа недостаточно, чтобы выбрать, где именно он расположен.

Построение по заданным свойствам

Условие: начертить треугольник ABC, который одновременно равнобедренный и прямоугольный, и указать его основание и прямой угол. Равнобедренность требует двух равных сторон, а прямоугольность — угла в 90°. Удобно сделать равными стороны, которые образуют прямой угол: тогда третья сторона станет основанием.

1. Начертим отрезок AB и в точке A построим перпендикулярный ему луч. Перпендикулярные линии образуют прямой угол.
2. На луче отметим точку C так, чтобы AC было равно AB. Теперь две стороны, AB и AC, равны.
3. Соединим B и C, чтобы получилась замкнутая фигура ABC.
4. Подпишем прямой угол при A и основание BC, которое лежит напротив вершины A.

Ответ: построен равнобедренный прямоугольный треугольник ABC; ∠A — прямой, BC — основание. Основанием здесь называют сторону, которая не равна двум другим сторонам. При построении важно проверять оба условия, а не только равенство сторон или наличие прямого угла.

Типичные ошибки

Ошибка: называть треугольником фигуру, составленную из трёх точек на одной прямой. Так происходит, если считать только количество точек, не проверяя их расположение. Но отрезки на одной линии не образуют замкнутую фигуру. Проверь себя: точки должны быть не на одной прямой, а стороны должны замыкаться.

Ошибка: путать сторону с вершиной или углом. Вершина — точка, сторона — отрезок, а угол образуется двумя сторонами у вершины. Путаница возникает, когда на чертеже все элементы обозначены буквами и линиями. Чтобы проверить ответ, спроси себя, называешь ли ты точку, отрезок или угол.

Ошибка: считать, что у равнобедренного треугольника ровно две равные стороны, а у равностороннего сторон с равной длиной нет. Равносторонний треугольник имеет три равные стороны, поэтому в нём тоже есть как минимум две равные стороны. Проверь формулировку условия: равнобедренный — две стороны равны, равносторонний — равны все три.

Ошибка: определять вид только по внешнему виду рисунка. Чертёж может быть нарисован не в масштабе, поэтому похожие длины или углы не обязательно равны. Эту ошибку допускают, когда забывают проверить данные задачи. Измерь стороны или углы, если это возможно, либо опирайся на точные обозначения и условие.

Связь с другими темами

Для изучения треугольников нужны понятия точки, прямой, отрезка и угла, а также умение сравнивать длины и величины углов. Дальше треугольники пригодятся при изучении периметра, площадей, геометрических построений и решении задач. Вокруг нас их формы можно заметить в конструкциях, чертежах и предметах, где нужно измерять или соединять детали.

Что запомнить

• Треугольник имеет три вершины, три стороны и три угла.
• Три вершины треугольника не лежат на одной прямой.
• Треугольник обозначают буквами его вершин.
• По сторонам треугольники бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними.
• По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
• Один и тот же треугольник можно классифицировать одновременно по сторонам и по углам.