7. Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя соединяющими их отрезками. Если точки расположить на одной прямой, отрезки не смогут окружить часть плоскости и замкнутой фигуры не получится. Поэтому условие о точках, не лежащих на одной прямой, отличает настоящий треугольник от прямой линии. Оно помогает проверить, действительно ли перед нами треугольник.

Вершина треугольника — одна из трёх точек, в которых сходятся его стороны. Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C. По этим буквам удобно называть и описывать треугольник: треугольник с вершинами A, B, C записывают как △ABC. Названия вершин нужны, чтобы точно указывать, о какой части фигуры идёт речь.

Сторона треугольника — отрезок, соединяющий две его вершины. Сторону обозначают двумя буквами её концов: отрезок между A и B — AB, между B и C — BC, между C и A — CA. Порядок букв не меняет названия отрезка: AB и BA обозначают одну сторону. Такое обозначение показывает, какие именно вершины соединены.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если длины сторон обозначены буквами a, b и c, то периметр P = a + b + c. Периметр показывает общую длину границы фигуры, поэтому в вычислении участвуют все три стороны. Его записывают в тех же единицах, в которых измерены стороны.

Как это устроено

Три вершины соединяют отрезками попарно: каждую вершину — с двумя другими. Так образуются три стороны, которые возвращаются к начальной точке и замыкают фигуру. Если не соединить один из концов или оставить промежуток, получится незамкнутая линия, а не треугольник. Если же вершины лежат на одной прямой, отрезки не охватывают внутреннюю область, поэтому треугольник тоже не образуется.

Вершины, стороны и углы связаны между собой. У стороны два конца, и каждый конец является вершиной; две стороны сходятся в одной вершине и образуют там угол. Например, стороны AB и BC встречаются в точке B, поэтому угол при этой вершине обозначают ∠B. Угол можно представить как раскрытие между двумя сторонами: его величина зависит от того, насколько широко они расходятся.

По длинам сторон треугольники делят на три вида. У равностороннего все стороны одинаковой длины, у равнобедренного равны две стороны, а у разностороннего длины всех сторон разные. В равнобедренном две равные стороны называют боковыми, а третью — основанием. Название «основание» не означает, что эта сторона обязательно нарисована внизу: оно указывает на её роль относительно равных боковых сторон.

Треугольники различают и по величине углов. Остроугольный треугольник имеет три острых угла, прямоугольный — один прямой, а тупоугольный — один тупой. Острый угол меньше прямого, а тупой больше прямого. Название зависит именно от углов, а не от длины сторон или положения фигуры на листе.

Периметр находят сложением длин всех сторон, потому что он измеряет всю границу треугольника. Если известны стороны a, b и c, записывают P = a + b + c, а затем выполняют сложение. Например, для сторон 4 см, 6 см и 7 см получаем 4 + 6 + 7 = 17 см. Нельзя ограничиться двумя сторонами: тогда часть границы останется неучтённой.

Виды треугольников

Сначала реши, по какому признаку нужно определить вид: по длинам сторон или по углам. Затем сравни длины либо рассмотри величины углов и найди подходящую строку. Один треугольник можно описать сразу по обоим признакам.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC найдите, как обозначаются сторона, соединяющая вершины A и B, и угол при вершине C. Нужно определить, какие буквы соответствуют концам стороны, а какая буква указывает на вершину угла. В обозначениях стороны используют две буквы, а угла — букву его вершины.

1. Сторона соединяет вершины A и B, значит, её обозначают AB. Те же две буквы можно записать в обратном порядке: BA. Это один и тот же отрезок, потому что его концы не меняются.
2. Угол находится при вершине C, поэтому его обозначают ∠C. Если нужно подробно показать стороны, которые его образуют, это стороны CA и CB. Они встречаются в точке C и задают угол.

Ответ: сторона — AB (или BA), угол — ∠C. Проверка: у стороны указаны две конечные вершины, а у угла — вершина, где сходятся стороны. Так можно проверить, что обозначения не перепутаны.

Задача 2. Длины сторон треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Определите вид треугольника по сторонам и найдите его периметр. Сначала сравним длины, а затем сложим их, потому что периметр охватывает всю границу фигуры. В ответе укажем и вид, и единицу измерения.

1. Две стороны имеют длину 5 см, то есть они равны. По сторонам такой треугольник называется равнобедренным. Сторона длиной 8 см — основание, а две стороны по 5 см — боковые.
2. Чтобы найти периметр, складываем все три длины: 5 + 5 + 8 = 18. Не умножаем одну длину на три, потому что третья сторона отличается от двух равных.

Ответ: треугольник равнобедренный, его периметр равен 18 см. Проверка: в сложении учтены три стороны, а сантиметры сохранены как единица длины. Равные стороны помогли определить вид, но для периметра нужно было учесть и основание.

Задача 3. У треугольника два угла острые, а третий — прямой. Как называется такой треугольник по углам? Может ли он быть равнобедренным, если его стороны равны 5 см, 5 см и 5 см? Разделим вопрос на две части: сначала определим вид по углам, затем проверим, подходит ли указанное равенство сторон.

1. В треугольнике есть один прямой угол, поэтому по углам он называется прямоугольным. Два других угла острые, что соответствует описанию. Для этого названия важен именно прямой угол.
2. Три стороны по 5 см означают, что треугольник равносторонний и в то же время формально имеет две равные стороны. Однако такой треугольник не может быть прямоугольным: у равностороннего треугольника все углы острые. Значит, заданные сведения о прямом угле и трёх сторонах по 5 см несовместимы.

Ответ: по углам треугольник прямоугольный; со сторонами 5 см, 5 см и 5 см он таким быть не может. Признаки по сторонам и углам действительно проверяют отдельно, но конкретные длины и углы должны описывать одну и ту же фигуру. Равнобедренный и прямоугольный треугольник возможен, если равны две его стороны, а не все три.

Типичные ошибки

Ошибка: считать треугольником три отрезка, которые не образуют замкнутую линию. Так думают, если замечают три части, но не проверяют, соединены ли их концы. Проведи взглядом по контуру: каждый конец отрезка должен встретиться с другим отрезком, а линия — вернуться к началу. Если где-то есть разрыв, треугольника нет.

Ошибка: путать сторону и вершину. Это происходит потому, что обе части связаны с буквенными обозначениями. Вершина — точка, а сторона — отрезок между двумя точками. Проверь себя: одна буква называет вершину, две буквы вместе — сторону.

Ошибка: называть треугольник прямоугольным, потому что в нём есть острый угол. Острые углы встречаются и в других треугольниках, поэтому одного такого угла недостаточно. Прямоугольный треугольник обязательно имеет один прямой угол. Чтобы проверить название, определи, есть ли угол ровно в 90°.

Ошибка: при нахождении периметра складывать только две стороны или умножать одну длину на три. Первое оставляет часть границы без учёта, а второе подходит лишь тогда, когда все стороны равны. Запиши длины по очереди и проверь, что в сумме три слагаемых — по одному на каждую сторону. Не забудь указать единицу измерения.

Связь с другими темами

Чтобы изучать треугольники, нужно различать точку, прямую и отрезок: вершины — это точки, а стороны — отрезки. Также пригодится умение измерять длину отрезка и распознавать угол, ведь по этим знаниям определяют стороны, периметр и виды треугольников. Дальше треугольники помогут разбираться в многоугольниках и решать задачи на периметр. Они также встречаются при геометрических построениях, где важно правильно соединять точки отрезками.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Стороны соединяют вершины попарно и образуют замкнутую фигуру.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
• Треугольник можно одновременно классифицировать по сторонам и по углам.