5. Куб и его свойства

Определения и обозначения

Куб — многогранник, все грани которого являются равными квадратами. Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой состоит из плоских многоугольников. Это определение помогает отличить куб от плоского квадрата и от других объёмных фигур.

Грань куба — квадрат, ограничивающий куб; у куба шесть граней. Если представить куб как коробку, гранью будет одна из её плоских сторон. Слово «грань» нужно, чтобы описывать, из каких частей состоит поверхность фигуры.

Ребро куба — сторона, по которой соединяются две грани; у куба двенадцать рёбер. На рисунке ребро выглядит как отрезок, но в самой фигуре оно является линией стыка двух квадратов. Подсчёт рёбер помогает решать задачи о длине и устройстве куба.

Вершина куба — точка, в которой сходятся рёбра; у куба восемь вершин. Это угол объёмной фигуры, где соединяются её стороны. Вершины удобно использовать, чтобы отмечать и считать места соединения рёбер.

Как это устроено

Куб можно представить как объёмную фигуру, составленную из шести одинаковых квадратов. Квадраты становятся его наружными сторонами: у фигуры есть верхняя, нижняя и четыре боковые грани. При складывании плоская поверхность замыкается вокруг пространства, поэтому получается объёмный предмет.

У каждой грани четыре стороны, а соседние грани соединяются своими сторонами. Значит, сторона одного квадрата одновременно служит стороной другого квадрата. Все квадраты равны, поэтому длины их сторон совпадают; так получаются двенадцать равных рёбер куба.

В каждой вершине сходятся три ребра и три квадратные грани. Если поставить куб на стол, в одном из его углов можно увидеть, как три ребра уходят в разные стороны. Подсчитывая углы куба, получаем восемь вершин: четыре сверху и четыре снизу.

У куба три пары противоположных граней. Грани в каждой паре находятся напротив друг друга и не соприкасаются, потому что между ними расположены другие грани. Если продолжить плоскости таких граней в обе стороны, они не пересекутся, то есть будут параллельны.

Развёртка куба состоит из шести квадратов, соединённых сторонами. В развёрнутом виде квадраты лежат на плоскости, а общие стороны показывают, где грани будут соединяться. При складывании подходящей развёртки квадраты поднимаются и замыкаются в фигуру; неподходящее расположение может привести к наложению граней.

Элементы и свойства куба

Сначала найди в таблице нужный элемент, а затем посмотри, сколько таких элементов у куба. Последний столбец напоминает свойство, которое помогает не перепутать грани, рёбра и вершины. При решении задачи используй только те сведения, которые относятся к её вопросу.

Разбор задач

Задача 1. Сколько граней, рёбер и вершин у куба? Чтобы ответить, нужно вспомнить, какие элементы есть у куба, и воспользоваться их количеством. Не следует считать только то, что видно на изображении объёмной фигуры.

1. Назовём грани: у куба их 6, и все они квадратные.
2. Вспомним, что рёбра — это стороны, соединяющие грани; у куба их 12.
3. Посчитаем точки соединения рёбер: у куба 8 вершин.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 2. Ребро куба равно 4 см. Найди сумму длин всех его рёбер. Все рёбра куба равны, поэтому достаточно узнать длину одного ребра и сколько раз её нужно сложить. Для этого умножим длину ребра на их общее количество.

1. Запишем длину одного ребра: 4 см.
2. У куба 12 рёбер, значит, складываем длину 12 раз: 4 × 12.
3. Вычислим: 4 × 12 = 48 см.

Ответ: сумма длин всех рёбер равна 48 см.

Задача 3. Есть шесть одинаковых квадратов. Можно ли сложить из них развёртку куба, если все квадраты расположены в один ряд? Чтобы получился куб, каждый квадрат должен стать отдельной гранью, а после складывания фигура должна замкнуться. Проверим, смогут ли квадраты в таком расположении соединиться без наложения.

1. При складывании длинной полосы из квадратов соседние квадраты будут подниматься вокруг общих сторон.
2. После четырёх квадратов боковые грани уже образуют замкнутый пояс вокруг куба.
3. Оставшиеся два квадрата нельзя присоединить как верхнюю и нижнюю грани без наложения на уже образованные грани.

Ответ: нет, шесть квадратов в один ряд не образуют развёртку куба.

Типичные ошибки

Считать, что у куба четыре грани, можно, если пересчитать только видимые стороны на рисунке. Объёмное изображение показывает не всю поверхность, поэтому остальные грани могут быть закрыты. Проверь себя: вспомни, что у куба есть верхняя, нижняя и четыре боковые грани, всего шесть.

Путать ребро и грань — значит принимать отрезок за целую квадратную часть поверхности или наоборот. Так бывает, потому что и рёбра, и грани находятся рядом на рисунке. Проверь себя: грань — это площадь-квадрат, а ребро — линия, где встречаются две грани.

Считать только восемь видимых рёбер — ошибка из-за того, что часть линий на рисунке скрыта. Скрытые рёбра не исчезают, а проходят за видимыми гранями. Проверь себя, мысленно обойдя куб со всех сторон: всего у него двенадцать рёбер.

Называть кубом любую фигуру с квадратными гранями недостаточно: эти грани должны быть равными квадратами. Ошибка возникает, если обратить внимание только на форму граней и не сравнить их размеры. Проверь себя: у настоящего куба равны и все квадраты, и все его рёбра.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в кубе, нужно знать квадрат и его стороны, а также уметь считать элементы плоской фигуры. Эти знания помогают увидеть, как квадраты соединяются и становятся гранями объёмного тела. Грани и рёбра пригодятся при изучении других многогранников и их развёрток: поверхность таких фигур тоже складывается из плоских частей. Длина ребра куба понадобится позднее, когда будут находить его объём и площадь поверхности.

Что запомнить

• У куба шесть равных квадратных граней.
• У куба двенадцать равных рёбер.
• У куба восемь вершин.
• В каждой вершине сходятся три ребра.
• У куба три пары противоположных граней.
• Развёртка куба состоит из шести квадратов.