8. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — это объёмное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Многоугольники на поверхности называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. Эти слова помогают описывать части тела и точно считать их, даже если тело изображено на плоском листе.

Правильный многогранник — тело, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, например квадрат или равносторонний треугольник. Проверять оба условия нужно, чтобы отличить правильное тело от многогранника, у которого просто одинаковые грани.

Ребро — общая сторона двух соседних граней, а вершина — конец ребра, где соединяются рёбра. Значит, рёбра входят в состав граней, а вершины служат их концами. Эта связь пригодится при подсчёте: одно и то же ребро принадлежит двум граням, поэтому его нельзя считать за два разных ребра.

Как это устроено

Одних одинаковых правильных граней недостаточно для правильного многогранника. Например, даже если грани — равные квадраты, в разных вершинах может сходиться разное число квадратов. Тогда устройство тела вокруг вершин неодинаково, и второе условие определения не выполнено. Поэтому при проверке нужно рассмотреть и форму граней, и то, сколько их соединяется у каждой вершины.

Грани должны сложиться вокруг вершины так, чтобы поверхность тела изгибалась и замыкалась. У правильного многоугольника угол при вершине всегда меньше 180°, но несколько таких углов могут вместе дать 360° или больше. При сумме 360° грани лягут вокруг вершины плоско, а при большей сумме им не хватит места, чтобы соединиться без наложения. Поэтому сумма углов сходящихся граней должна быть меньше 360°.

Чтобы выяснить, какие тела возможны, берут правильные многоугольники и проверяют, сколько одинаковых углов каждого вида может сойтись в одной вершине. Для треугольников подходит число 3, 4 или 5: при шести углах сумма уже равна 360°. Для квадратов подходят только три, а для правильных пятиугольников тоже три. У многоугольников с шестью и более сторонами даже три угла составляют не меньше 360°, поэтому они не подходят. Проверка вариантов приводит ровно к пяти замкнутым правильным телам.

У каждого из пяти тел есть своё сочетание формы грани и числа граней у вершины. У тетраэдра это треугольники и по три грани у вершины; у куба — квадраты и тоже по три. У октаэдра треугольники сходятся по четыре, у додекаэдра пятиугольники — по три, а у икосаэдра треугольники — по пять. Название тела и подсчёт его элементов можно сверить по таблице.

Чтобы сосчитать рёбра, можно посчитать стороны всех граней и разделить сумму на 2: каждое ребро является стороной двух граней. Вершины считают отдельно как точки соединения рёбер; скрытая на рисунке точка всё равно остаётся вершиной. У куба и октаэдра число граней одного тела равно числу вершин другого, а число рёбер одинаково. Такая же пара — додекаэдр и икосаэдр.

Пять правильных многогранников и их элементы

Сначала найдите форму грани и число граней у вершины — это поможет определить название тела. Затем прочитайте числа граней, рёбер и вершин в соответствующих столбцах. Сравните пары куб—октаэдр и додекаэдр—икосаэдр: у каждой пары совпадает число рёбер, а числа граней и вершин меняются местами.

Разбор задач

Одинаковые квадраты, но разное число граней у вершины

Задача. У тела все грани — равные квадраты, но в одной вершине сходятся три грани, а в другой — четыре. Можно ли назвать его правильным многогранником? Проверим условия определения по очереди.

1. Все грани имеют форму равных квадратов, значит, первое условие выполнено: квадрат — правильный многоугольник. На этом проверку заканчивать нельзя.

2. Сравним вершины: в одной сходятся три грани, а в другой — четыре. Число граней у вершин не одинаково, поэтому второе условие нарушено.

Ответ: нет, это тело нельзя назвать правильным многогранником. Чтобы ответить верно, нужно проверить оба условия, а не только форму граней.

Считаем элементы куба

Задача. Сосчитайте грани, рёбра и вершины куба, учитывая, что на изображении могут быть скрытые элементы. Даже если видны не все стороны или углы, куб остаётся целым телом с неизменным числом элементов.

1. У куба шесть квадратных граней: передняя и задняя, левая и правая, верхняя и нижняя. Часть граней может быть не видна с выбранной стороны, но их тоже нужно учитывать.

2. У каждой из шести граней четыре стороны, значит, всего получится 6 × 4 = 24 стороны граней. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому делим 24 на 2 и получаем 12 рёбер.

3. У куба восемь вершин — точек, где сходятся рёбра. Некоторые из них могут быть скрыты за видимой частью тела, поэтому проверяйте полный куб, а не только контур изображения.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. При подсчёте сторон граней деление на 2 не даёт пересчитать каждое ребро дважды.

Находим многогранник по числу граней

Задача. У правильного многогранника 20 треугольных граней. Нужно определить его название и найти число вершин и рёбер. Сопоставим оба признака с таблицей правильных многогранников.

1. Форма грани — треугольник, а граней всего 20. В таблице этому сочетанию соответствует икосаэдр; у октаэдра тоже треугольные грани, но их только 8.

2. В таблице у икосаэдра указаны 12 вершин и 30 рёбер. Можно проверить число рёбер по сторонам граней: 20 × 3 = 60 сторон, а 60 ÷ 2 = 30 рёбер, потому что каждое ребро принадлежит двум граням.

Ответ: это икосаэдр; у него 12 вершин и 30 рёбер. Одной формы граней для распознавания было бы недостаточно, поэтому мы учли и количество граней.

Типичные ошибки

Ошибка: называть тело правильным только потому, что его грани — правильные многоугольники. Так происходит, если проверяют только поверхность и забывают о вершинах. Пересчитайте грани, сходящиеся у нескольких вершин: их число должно быть одинаковым.

Ошибка: сосчитать рёбра отдельно в каждой грани и принять полученную сумму за число рёбер тела. Ребро принадлежит двум граням, поэтому при таком подсчёте каждое встречается дважды. Проверьте себя: сумму сторон граней нужно разделить на 2.

Ошибка: путать число граней с числом вершин, особенно у октаэдра и икосаэдра. Грани составляют поверхность, а вершины — это точки соединения рёбер, поэтому это разные виды элементов. Сверяйте, что именно спрашивают, и при необходимости используйте таблицу.

Ошибка: считать, что правильных многогранников может быть сколько угодно, не проверяя возможность замыкания поверхности. Углы граней вокруг вершины не должны составлять 360° или больше, иначе тело не сложится. Для проверки сложите углы нескольких одинаковых граней у вершины и сравните сумму с 360°.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужно знать правильные многоугольники, их стороны и углы, а также понимать, что такое объёмное тело. Умение считать грани, рёбра и вершины пригодится при работе с развёртками: развёртка показывает поверхность тела, разложенную на плоскости. Эти знания готовят к дальнейшему изучению свойств многогранников и связей между их элементами.

Что запомнить

• Правильный многогранник имеет равные правильные грани.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число граней.
• Существует пять правильных многогранников.
• Их названия: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Каждое ребро принадлежит двум граням.
• Число видимых на рисунке элементов может быть меньше их общего числа.