§ 3. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Например, поверхность коробки образована прямоугольниками. Это определение помогает отличить многогранник от шара или цилиндра, у которых нет поверхности из плоских многоугольников.

Правильный многогранник — многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, причём в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Значит, недостаточно, чтобы грани были только квадратами или треугольниками. Нужно ещё проверить, одинаково ли устроены все вершины.

Грань, ребро и вершина правильного многогранника — соответственно многоугольник на его поверхности, сторона грани и точка соединения рёбер. Грань можно представить как одну плоскую «стенку» фигуры, ребро — как линию её края, а вершину — как угол, где встречаются рёбра. Эти элементы используют, чтобы описывать и подсчитывать многогранники.

Известны пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Название фигуры связано с числом её граней или с её формой. Запомнив эти пять видов, можно быстро распознавать фигуру по её граням и вершинам.

Как это устроено

Одинаковые правильные грани нужны для того, чтобы поверхность фигуры имела одинаковое строение во всех местах. Если одна грань отличается по форме или размеру, фигура уже не обладает полной правильностью. Равенство граней также позволяет без новых измерений переносить свойства одной грани на остальные.

Одинаковое число граней в каждой вершине нужно по той же причине: ни одна вершина не должна быть устроена иначе, чем остальные. Вид правильного многогранника определяется двумя числами: числом сторон у грани и числом граней, сходящихся в вершине. Например, треугольники по три в вершине образуют тетраэдр, а квадраты по три — куб.

Вокруг одной вершины грани образуют плоские углы. Их сумма должна быть меньше 360°, иначе грани развернутся в плоскость или начнут перекрываться, и объёмная вершина не получится. Для равностороннего треугольника угол равен 60°, поэтому в вершине могут встретиться 3, 4 или 5 таких граней, но не 6: при шести сумма равна 360°.

У квадрата угол равен 90°, поэтому в вершине помещаются только три квадрата. У правильного пятиугольника угол равен 108°, и также возможны только три грани: четыре угла дали бы 432°. Для правильного шестиугольника угол уже 120°, а три таких угла дают 360°, поэтому новые правильные многогранники не возникают.

Так получают пять сочетаний. Треугольники по три, четыре или пять в вершине дают тетраэдр, октаэдр и икосаэдр; квадраты по три дают куб; пятиугольники по три дают додекаэдр. Других вариантов не остаётся, потому что при большем числе сторон угол грани становится слишком большим.

Основные свойства правильных многогранников

В таблице сначала найдите форму грани, а затем число граней, сходящихся в одной вершине. Остальные числа помогают сравнивать размеры и строение фигур. Строки о рёбрах, вершинах и гранях можно дополнительно проверять формулой Эйлера.

У каждой грани столько же рёбер, сколько у соответствующего многоугольника. Одно ребро принадлежит двум граням, поэтому при подсчёте нельзя просто складывать все стороны граней без деления на 2. Число рёбер, выходящих из вершины, совпадает с числом граней, сходящихся в ней.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли многогранник правильным, если его грани — равные квадраты, но в одной вершине сходятся три грани, а в другой — четыре. Нужно проверить не только сами грани, но и одинаковость всех вершин.

1. Равные квадраты являются правильными многоугольниками, значит, первое условие выполнено.
2. В одной вершине сходятся три грани, а в другой — четыре. Устройство вершин неодинаково.
3. Следовательно, второе условие правильного многогранника нарушено, даже несмотря на хорошие грани.

Ответ: многогранник не является правильным. Кубом его тоже назвать нельзя, потому что у куба в каждой вершине сходятся ровно три квадратные грани.

Задача 2. У правильного многогранника 8 треугольных граней. Определим число его рёбер и вершин. Форма грани и их количество сразу подсказывают один из пяти видов.

1. Правильный многогранник с 8 треугольными гранями — октаэдр.
2. По таблице у октаэдра 12 рёбер и 6 вершин.
3. Проверим формулой Эйлера: В − Р + Г = 6 − 12 + 8 = 2. Результат верный.

Ответ: это октаэдр; у него 12 рёбер и 6 вершин.

Задача 3. Каждая грань многогранника является правильным пятиугольником, а в каждой вершине сходятся три грани. По этим данным нужно определить фигуру и все основные количества. Сначала узнаем вид, затем проверим подсчёты.

1. Три правильных пятиугольника в одной вершине образуют додекаэдр.
2. У додекаэдра 12 граней, и в каждой пятью сторонами обладают пятиугольники.
3. Число рёбер найдём по сторонам граней: 12 · 5 = 60 сторон, но каждое ребро посчитано дважды, поэтому Р = 60 : 2 = 30.
4. По формуле Эйлера В − 30 + 12 = 2, откуда В = 20. Проверка совпадает с таблицей.

Ответ: это додекаэдр; у него 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин.

Типичные ошибки

Считать многогранник правильным только потому, что его грани — правильные многоугольники, недостаточно. Ошибку допускают, когда забывают про второе условие: одинаковое устройство вершин. Проверьте, сколько граней сходится хотя бы в нескольких вершинах.

Числа граней, рёбер и вершин особенно легко перепутать у октаэдра и икосаэдра. Пространственное изображение может скрывать часть элементов. Сверяйте подсчёт с таблицей и формулой В − Р + Г = 2.

Любой многогранник с квадратными гранями не обязательно является кубом. У куба все грани — равные квадраты, и в каждой вершине сходятся ровно три грани. Если в другой вершине число граней иное, фигура не может быть кубом.

В формуле Эйлера используются именно числа вершин, рёбер и граней, а не число сторон одной грани. Подстановка количества сторон даст неверный результат. Сначала обозначьте В, Р и Г, а потом подставляйте их в равенство В − Р + Г = 2.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о правильных многоугольниках, их сторонах и углах, а также понятия вершины и ребра. Именно из этих плоских элементов складывается пространственная фигура.

Правильные многогранники связаны с формулой Эйлера для выпуклых многогранников. Она позволяет проверять подсчёт элементов даже тогда, когда часть фигуры плохо видна.

Дальше эти знания пригодятся при построении развёрток. По развёртке можно находить площадь поверхности, а затем изучать объём многогранника.

Что запомнить

• Правильный многогранник состоит из равных правильных многоугольников.
• Во всех вершинах правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Существует ровно пять видов правильных многогранников.
• Куб имеет квадратные грани, а тетраэдр, октаэдр и икосаэдр — треугольные.
• Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников.
• Для выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно 2.