§ 4. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Его поверхность можно представить как соединённые друг с другом плоские фигуры. Такое определение помогает отличить многогранник от тела с гладкой поверхностью, например шара.

Грани — это многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника. Общие стороны соседних граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Эти названия нужны, чтобы описывать строение тела и считать его части.

Правильный многогранник — это многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Проверка обоих условий помогает понять, действительно ли тело устроено одинаково по всей поверхности.

Существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их также называют платоновыми телами. Эти названия обозначают все возможные тела с указанными свойствами.

Как это устроено

Одинаковые грани сами по себе ещё не делают многогранник правильным. Представь, что у одного угла сходятся три одинаковых многоугольника, а у другого — четыре: устройство вершин уже различается. Поэтому в определении правильного многогранника проверяют и форму граней, и способ их соединения у каждой вершины.

Углы граней, сходящихся в вершине, должны поместиться вокруг неё, не образуя плоскую поверхность. Их сумма обязана быть меньше 360°: при сумме 360° грани развернутся в плоскость, а при большей величине не смогут сложиться вокруг вершины. Это условие ограничивает и форму многоугольника, и число граней у вершины.

Для равностороннего треугольника угол равен 60°, поэтому вокруг вершины могут сходиться три, четыре или пять таких граней: суммы равны 180°, 240° и 300°. Так получаются тетраэдр, октаэдр и икосаэдр. У квадрата угол 90°, и подходят только три грани (куб); у правильного пятиугольника угол 108°, поэтому тоже подходят три (додекаэдр), а у многоугольников с большим числом сторон углы слишком велики.

Числа граней, рёбер и вершин зависят от того, как многоугольники соединены друг с другом. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому сумму сторон всех граней делят на два, чтобы не посчитать одно ребро дважды. Например, у куба 6 граней по 4 стороны, значит, рёбер 6 · 4 ÷ 2 = 12.

Для выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней всегда равно 2. Это соотношение Эйлера записывают так: В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Чтобы проверить его, подставь числа элементов и выполни действия в указанном порядке: результат должен быть равен 2.

Пять правильных многогранников и их элементы

Чтобы определить многогранник, найди в таблице его форму грани и число граней, сходящихся в вершине. Числа граней, рёбер и вершин позволяют сверить ответ или найти неизвестный элемент. Например, 20 треугольных граней и пять граней у вершины указывают на икосаэдр.

Разбор задач

У правильного многогранника каждая грань — равносторонний треугольник, и в каждой вершине сходятся три грани. Определите этот многогранник. Здесь важно учесть сразу два признака: вид многоугольника в грани и число граней вокруг вершины. Один признак без другого может указать не на то тело.

1. Среди пяти правильных многогранников треугольные грани есть у тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. Значит, по одной только форме грани выбрать ответ пока нельзя.
2. Сравним число сходящихся граней: у тетраэдра их три, у октаэдра четыре, у икосаэдра пять. Условию задачи соответствует тетраэдр.
3. Проверим, что у тетраэдра все грани — равносторонние треугольники и в каждой вершине сходятся три грани. Оба условия выполнены.

Ответ: тетраэдр. Такой способ полезен и в обратных задачах: по форме грани и числу граней у вершины можно найти название тела. Не следует выбирать многогранник только по одному из этих признаков.

У куба 6 граней и 8 вершин. Найдите число рёбер, используя соотношение Эйлера. Обозначим число рёбер буквой Р, число вершин — В, а число граней — Г. Подстановка в формулу позволит получить неизвестное число, не пересчитывая все рёбра на рисунке.

1. Запишем соотношение Эйлера: В − Р + Г = 2. Для куба В = 8 и Г = 6, поэтому получаем 8 − Р + 6 = 2.
2. Сложим известные числа: 14 − Р = 2. Чтобы найти Р, перенесём 14 в правую часть: −Р = 2 − 14 = −12.
3. Умножим обе части на −1 и получим Р = 12. Проверим: 8 − 12 + 6 = 2, равенство верно.

Ответ: у куба 12 рёбер. Проверка по формуле помогает заметить ошибку в вычислениях. Знак перед числом рёбер здесь минус, поэтому его нельзя заменять плюсом.

У правильного многогранника 20 граней, каждая из которых — равносторонний треугольник. Найдите число рёбер и вершин. Сначала воспользуемся тем, что каждая грань имеет три стороны, а каждое ребро является общей стороной двух граней. Затем применим соотношение Эйлера.

1. Найдём сумму сторон всех граней: 20 · 3 = 60. При этом каждое ребро посчитано дважды, поэтому число рёбер Р = 60 ÷ 2 = 30.
2. В формуле Эйлера известны Г = 20 и Р = 30: В − 30 + 20 = 2. Упростим: В − 10 = 2.
3. Прибавим 10 к обеим частям и получим В = 12. Значит, у тела 12 вершин.

Ответ: 30 рёбер и 12 вершин. Результат совпадает с данными для икосаэдра в таблице. Это дополнительная проверка вычислений, а не замена последовательного решения.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать многогранник правильным только потому, что все его грани одинаковы. Так думают, если рассматривают поверхность, но не проверяют вершины. Сравни, сколько граней сходится у разных вершин: для правильного многогранника это число должно быть одним и тем же.

Ошибка — считать число рёбер равным сумме сторон всех граней. При таком подсчёте общая сторона двух граней попадает в сумму дважды. Раздели сумму на два и проверь, что каждое ребро учтено один раз.

Ошибка — перепутать порядок чисел в соотношении Эйлера или знаки перед ними. Это часто происходит, когда формулу вспоминают по памяти и сразу подставляют значения. Запиши сначала В − Р + Г = 2, а затем подпиши, какое число соответствует каждой букве.

Ошибка — считать, что гранями правильного многогранника могут быть любые правильные многоугольники. Даже правильные фигуры могут не сложиться в объёмное тело, если углы вокруг вершины дают 360° или больше. Найди сумму углов граней у одной вершины и убедись, что она меньше 360°.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны знания о многоугольниках и правильных многоугольниках, а также о сторонах, вершинах и углах. Эти понятия переходят из плоской геометрии в пространственную: стороны фигур становятся частями поверхности тела. Умение различать угол и вершину помогает описывать, как грани соединяются друг с другом.

Тема связывает плоские фигуры с пространственными телами. Она помогает представлять объёмные модели и понимать их развёртки — плоские фигуры, из которых можно сложить поверхность тела. Подсчёт граней, рёбер и вершин пригодится при изучении других многогранников.

Соотношение Эйлера можно использовать для выпуклых многогранников, даже если они не являются правильными. Если известны любые два числа — вершин, рёбер и граней, — по формуле можно найти третье. После вычисления полезно проверить, что равенство В − Р + Г = 2 выполняется.

Что запомнить

• У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Каждое ребро многогранника принадлежит двум граням.
• Для выпуклого многогранника выполняется равенство В − Р + Г = 2.
• Углы граней, сходящихся в одной вершине, в сумме меньше 360°.