"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Многоугольники связывают с окружностью двумя способами: вершины могут лежать на ней, а стороны — касаться её. Так появляются вписанные и описанные многоугольники и соответствующие им окружности. Эти понятия помогают разбирать геометрические чертежи и находить длины сторон и периметры. Главное — не перепутать, что именно соприкасается с окружностью: вершины или стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Иначе говоря, каждая вершина должна совпасть с точкой окружности, а не просто находиться внутри круга. Это определение помогает проверить, подходит ли чертёж под названием «вписанный». Достаточно одной вершины вне окружности, чтобы условие не выполнялось.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины, потому что все эти расстояния — радиусы одной окружности. Название показывает, что окружность проходит вокруг многоугольника через его углы. Так удобно говорить о радиусе и центре, связанных с его вершинами.
Описанный многоугольник — многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Касаться означает иметь с окружностью общую точку, но не пересекать её так, чтобы линия уходила внутрь и наружу. Для проверки нужно рассмотреть каждую сторону. Это определение отличает описанный многоугольник от вписанного.
Вписанная окружность — окружность, которая касается всех сторон описанного многоугольника. Её центр одинаково удалён от сторон, а расстояние до каждой из них равно радиусу. Такое название помогает понять, что окружность расположена внутри многоугольника и касается его сторон. Точка соприкосновения называется точкой касания.
У вписанного многоугольника расстояния от центра описанной окружности до всех его вершин равны и являются радиусами. Это следует из определения окружности: каждая её точка удалена от центра на одно и то же расстояние. Поскольку вершины лежат на окружности, отрезки от центра до них имеют одинаковую длину. Поэтому радиус можно провести к любой вершине и использовать в рассуждениях.
У описанного многоугольника расстояния от центра вписанной окружности до всех его сторон равны радиусу. Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, то есть по самому короткому отрезку. Если окружность касается стороны, то кратчайший отрезок от центра к этой стороне заканчивается в точке касания. Значит, радиус, проведённый туда, перпендикулярен стороне.
У правильного многоугольника можно провести и описанную, и вписанную окружности, причём их центры совпадают. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, поэтому его вершины расположены вокруг общего центра симметрично. Этот центр одинаково удалён от вершин, а также от сторон. Поэтому одна окружность проходит через все вершины, а другая касается всех сторон.
Чтобы проверить, вписан ли многоугольник в окружность, проверьте каждую его вершину: она должна лежать на линии окружности. Чтобы проверить, описан ли многоугольник около окружности, проверьте каждую сторону: она должна касаться окружности. Такая проверка идёт прямо по определениям и не требует угадывать по внешнему виду. Если хотя бы одно условие не выполнено, нужного отношения между фигурой и окружностью нет.
В чертеже важно различать, что именно касается окружности или лежит на ней: вершины многоугольника либо его стороны. Слово «вписанный» связано с вершинами на окружности, а «описанный» — со сторонами, касающимися окружности. Путаница возникает, когда смотрят только на то, что фигура расположена внутри или снаружи. Спросите себя: «На окружности точки-вершины или окружность касается сторон?» — и название станет яснее.
| Признак | Вписанный многоугольник | Описанный многоугольник |
|---|---|---|
| Положение относительно окружности | Многоугольник находится внутри окружности, его вершины лежат на ней | Многоугольник расположен вокруг окружности, его стороны касаются её |
| Что лежит на окружности или касается её | Все вершины лежат на окружности | Все стороны касаются окружности |
| Равные расстояния от центра | До всех вершин; эти расстояния равны радиусам | До всех сторон; эти расстояния равны радиусу |
| Как называется окружность | Описанная окружность | Вписанная окружность |
Читайте таблицу по строкам: в ней сопоставлены положение фигур, нужные точки и название окружности. Сначала определите, что именно связано с окружностью — вершины или стороны, — а затем сверьте название. Строка о равных расстояниях помогает понять, какой радиус можно использовать в задаче.
Определение вписанного многоугольника требует, чтобы все его вершины лежали на одной окружности. В условии речь идёт о четырёхугольнике, то есть о многоугольнике. Проверяем именно вершины, а не стороны.
Все четыре вершины лежат на окружности, значит, условие определения выполнено полностью. Следовательно, четырёхугольник вписан в эту окружность. Саму окружность называют описанной около четырёхугольника.
Ответ: четырёхугольник вписан в окружность.
Окружность касается всех сторон квадрата, поэтому расстояние от её центра до каждой стороны равно радиусу — 3 см. Центр окружности находится посередине квадрата: расстояния до двух параллельных сторон одинаковы. Между этими сторонами получается два радиуса.
Ширина квадрата равна двум радиусам, а ширина квадрата — это длина его стороны. Вычисляем: 2 · 3 = 6 см. У квадрата четыре равные стороны, поэтому периметр равен 4 · 6 = 24 см.
Ответ: сторона квадрата 6 см, периметр 24 см.
Соединим центр окружности с двумя соседними вершинами шестиугольника. Полный угол вокруг центра равен 360°, а шесть равных центральных углов вместе составляют этот угол. Поэтому каждый из них равен 360° : 6 = 60°.
Полученный треугольник имеет две стороны-радиуса, каждая по 5 см, и угол между ними 60°. Его углы при основании тоже равны, а вместе с центральным дают 180°, значит, каждый равен 60°. Треугольник равносторонний, поэтому сторона шестиугольника тоже равна 5 см.
У шестиугольника шесть одинаковых сторон. Умножаем длину стороны на их количество: 6 · 5 = 30 см. Так находим периметр.
Ответ: сторона 5 см, периметр 30 см.
Иногда многоугольник называют вписанным, хотя на окружности лежит только часть его вершин. Такую ошибку допускают, если смотрят на общий вид чертежа, а не проверяют каждую точку. По определению должны лежать все вершины. Пересчитайте их и убедитесь, что ни одна не находится внутри или вне окружности.
Вписанный и описанный многоугольники часто путают, потому что оба названия связаны с окружностью. В первом случае на окружности находятся вершины, во втором окружность касается сторон. Проверяйте, какие именно элементы соприкасаются. Если на окружности точки-вершины — многоугольник вписанный, если касаются стороны — описанный.
Радиус к точке касания иногда рисуют вдоль стороны, принимая его за часть этой стороны. Причина ошибки — забывают, что радиус показывает расстояние от центра до окружности, а расстояние до прямой измеряется перпендикулярно ей. Проверьте чертёж угольником или отметкой прямого угла. Радиус в точку касания должен образовывать со стороной угол 90°.
В задаче о правильном шестиугольнике можно ошибочно принять его сторону за диаметр окружности. Так происходит, если соединить не соседние вершины или не рассмотреть угол между радиусами. Сторону образует хорда между соседними вершинами, а в правильном шестиугольнике центральный угол равен 60°. Треугольник из двух радиусов и этой стороны равносторонний, поэтому сторона равна радиусу, а не диаметру.
Для этой темы нужно знать, что такое окружность, её центр и радиус, а также уметь находить расстояние от точки до прямой. Представление о перпендикуляре помогает объяснить расстояние от центра до стороны и устройство точки касания. Эти знания позволяют читать чертежи и находить неизвестные стороны. Тема продолжает изучение многоугольников и геометрических фигур.
Вписанные и описанные многоугольники пригодятся при изучении правильных многоугольников, построении геометрических чертежей и вычислении периметров. Связь между радиусом, сторонами и вершинами помогает составлять план решения задачи. Например, у правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу. Это превращает данные о круге в сведения о многоугольнике.
Чем вписанный многоугольник отличается от описанного?
У вписанного многоугольника все вершины лежат на окружности. У описанного многоугольника все стороны касаются окружности.
Должны ли все вершины вписанного многоугольника лежать на окружности?
Да, это обязательное условие. Если на окружности лежит лишь часть вершин, многоугольник не является вписанным в неё.
Как называется окружность, проходящая через вершины многоугольника?
Она называется описанной окружностью. Многоугольник, все вершины которого лежат на ней, называется вписанным.
Почему радиус к точке касания перпендикулярен стороне?
Кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Поэтому радиус, проведённый из центра к точке касания, образует со стороной прямой угол.
Как найти сторону правильного шестиугольника, вписанного в окружность?
Соедините центр окружности с двумя соседними вершинами. Центральный угол равен 60°, а два отрезка от центра — радиусы; получившийся треугольник равносторонний. Значит, сторона шестиугольника равна радиусу окружности.
§ 3. Вписанные и описанные многоугольники
