"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Касательная к окружности — прямая, которая имеет с ней ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания, а радиус, проведённый к ней из центра, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает отличать касательную от других прямых, строить её и решать задачи на углы и длины. Если известны радиус и расстояние до точки на касательной, можно использовать прямоугольный треугольник и теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Центр обычно обозначают буквой O, а расстояние от него до любой точки окружности — радиусом; радиус OA соединяет O с точкой A на окружности. Это определение помогает отличать окружность от круга: окружность состоит только из точек на одинаковом расстоянии от центра.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Например, если прямая l касается окружности в точке A, то A лежит и на прямой, и на окружности, а других общих точек у них нет. Такое определение позволяет отличить касательную от прямых, которые вовсе не встречаются с окружностью или пересекают её дважды.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её обычно обозначают той же буквой, что и точку на окружности, например A. Указание точки касания важно: именно в ней можно провести радиус и применить основное свойство касательной.
Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок от центра окружности до этой точки, например OA. Он перпендикулярен касательной в точке A, то есть образует с ней прямой угол 90°. Благодаря этому свойству в задачах появляется прямоугольный треугольник, в котором можно находить углы и длины.
Прямая может располагаться относительно окружности по-разному. Если она проходит достаточно далеко от центра, то не пересекает окружность; если проходит ближе, то может пересечь её в двух точках. Граница между этими случаями — касательная: она касается окружности в одной точке.
Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, потому что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Если бы радиус OA не был перпендикулярен касательной в A, можно было бы опустить из O перпендикуляр на прямую в другой точке H. Тогда OH было бы меньше OA, то есть меньше радиуса. Значит, H оказалась бы внутри окружности, а прямая через внутреннюю точку пересекла бы окружность в двух местах — это противоречит определению касательной.
Верно и обратное свойство: если прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности, то она касается окружности именно там. Пусть прямая проходит через A, а OA перпендикулярен ей; возьмём на прямой другую точку P. Треугольник OAP прямоугольный, поэтому OP — гипотенуза и длиннее OA. Значит, P лежит дальше от центра, чем радиус, и не принадлежит окружности; общей точкой прямой и окружности остаётся только A.
Чтобы провести касательную в заданной точке A окружности, сначала соедини A с центром O: получится радиус OA. Затем через A построй прямую, перпендикулярную OA. По обратному свойству эта прямая будет касательной. Построение работает именно потому, что A лежит на окружности: если перпендикуляр провести в другой точке, обратное свойство применить нельзя.
Свойства касательной помогают проверять чертёж и находить неизвестные величины. Для проверки нужно убедиться, что прямая проходит через точку окружности и образует с радиусом к этой точке угол 90°. В задачах угол можно сразу заменить прямым, а длины — связать теоремой Пифагора: радиус и отрезок касательной становятся катетами прямоугольного треугольника.
| Положение прямой | Число общих точек с окружностью | Связь с радиусом |
|---|---|---|
| Прямая не пересекает окружность | 0 | Расстояние от центра до прямой больше радиуса |
| Касательная | 1 | Перпендикулярна радиусу в точке касания |
| Секущая | 2 | Расстояние от центра до прямой меньше радиуса |
Чтобы определить положение прямой, сначала посчитай её общие точки с окружностью. Если прямую трудно представить на рисунке, сравни расстояние от центра до неё с радиусом: равенство соответствует касательной. Для касательной перпендикуляр проводится именно к ней и проходит через точку касания.
Задача 1. Радиус OA проведён к точке A окружности. Прямая l проходит через A и перпендикулярна OA. Докажите, что l — касательная. Здесь дано условие обратного свойства: нужно проверить, что перпендикуляр построен именно в точке окружности.
Ответ: l — касательная к окружности в точке A. Важно, что перпендикулярность задана в точке окружности, а не в произвольной точке радиуса.
Задача 2. Касательная проведена к окружности в точке A. Найдите угол между касательной и радиусом OA. Здесь не требуется дополнительных вычислений: касательная и радиус образуют прямой угол именно в точке касания.
Ответ: 90°. Если на рисунке обозначен другой угол, проверь, что его стороны — именно радиус OA и касательная.
Задача 3. Из точки A к окружности с центром O проведена касательная в точке B. Найдите AB, если OA = 13 см и OB = 5 см. Поскольку OB — радиус к точке касания, угол OBA прямой. Значит, OA — гипотенуза, а OB и AB — катеты треугольника OBA.
Ответ: AB = 12 см. Перед применением теоремы Пифагора нужно установить, какой угол прямой и какая сторона является гипотенузой.
Ошибка: называть касательной любую прямую с одной общей точкой, не уточняя, с чем именно она пересекается. Определение относится к прямой и окружности, а не, например, к прямой и фигуре, которую только называют кругом. Проверь себя: речь должна идти об окружности и ровно одной общей точке.
Ошибка: путать радиус к точке касания с отрезком касательной и считать перпендикулярным не тот отрезок. Перпендикулярен касательной радиус, соединяющий центр с точкой касания. Чтобы проверить себя, найди центр, точку касания и угол между радиусом и прямой.
Ошибка: утверждать, что любая прямая, перпендикулярная радиусу, является касательной. Перпендикулярность должна быть в точке окружности; иначе обратное свойство не подходит. Проверь, лежит ли точка пересечения прямой и радиуса на окружности.
Ошибка: забывать про прямой угол и неверно применять теорему Пифагора. Без подтверждённого прямого угла нельзя считать треугольник прямоугольным; также легко перепутать гипотенузу с катетом. Сначала отметь точку касания и угол 90°, затем убедись, что напротив него находится гипотенуза.
Для изучения касательной нужны понятия окружности, центра и радиуса, а также умение распознавать прямой угол и перпендикулярные прямые. Эти знания объясняют, почему касательная связана с радиусом именно в точке касания. Позже свойство пригодится в задачах на прямоугольные треугольники, углы и расстояние от центра окружности до прямой: оно помогает находить неизвестные стороны и проверять расположение прямой.
Сколько общих точек у касательной и окружности?
У касательной и окружности ровно одна общая точка. Она называется точкой касания.
Как называется общая точка касательной и окружности?
Она называется точкой касания. В этой точке касательная перпендикулярна радиусу, проведённому из центра окружности.
Почему радиус перпендикулярен касательной?
Если бы радиус не был перпендикулярен касательной в точке касания, расстояние от центра до прямой было бы меньше радиуса. Тогда прямая прошла бы внутри окружности и пересекла её в двух точках, а не в одной.
Как проверить, что прямая является касательной?
Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной. Также можно проверить, что у прямой с окружностью ровно одна общая точка.
Можно ли построить касательную в заданной точке окружности?
Да. Сначала проведи радиус из центра окружности к заданной точке, затем построй через эту точку прямую, перпендикулярную радиусу. Полученная прямая будет касательной.
§ 2. Касательная
