"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Хорда соединяет две точки окружности, а диаметр — особая хорда, которая проходит через её центр. Радиус соединяет центр с точкой окружности, поэтому диаметр состоит из двух радиусов и вдвое длиннее каждого из них. Эти отрезки помогают описывать окружность и решать задачи: по ним можно сравнивать расстояния, находить длины и устанавливать, как окружность делится на части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Оба конца хорды лежат именно на окружности, а сам отрезок проходит внутри неё. Хорду не следует путать с дугой: дуга — часть линии окружности между теми же точками, а хорда — прямой отрезок. Это определение помогает узнавать хорды на чертеже и отличать их от других частей окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Как и у любой хорды, оба её конца лежат на окружности, а середина совпадает с центром. Поэтому диаметр — не любой отрезок, проведённый через центр, а именно отрезок с концами на окружности. Понятие диаметра нужно, чтобы находить наибольшую хорду и связывать её длину с радиусом.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. У радиуса один конец находится в центре, а другой — на окружности, поэтому радиус не является хордой. Если провести два радиуса в противоположные стороны по одной прямой, они вместе составят диаметр. Значит, диаметр равен двум радиусам, а радиус — половине диаметра.
Диаметр называют частным случаем хорды, потому что у него выполняется главное условие хорды: оба конца отрезка находятся на окружности. Отличает его дополнительное условие — отрезок проходит через центр. Если отрезок с концами на окружности не проходит через центр, он остаётся хордой, но диаметром не является. Так определения позволяют разделить все хорды на диаметры и хорды, не проходящие через центр.
Диаметр делит окружность на две равные дуги, потому что его концы лежат на одной прямой с центром и находятся по разные стороны от центра. Поворот на 180° вокруг центра переводит одну половину окружности в другую, не меняя её форму и длину. Радиусы, лежащие на диаметре, составляют одну прямую и имеют общую точку — центр. Поэтому длина диаметра равна сумме двух равных радиусов: d = 2r.
Диаметр — самая длинная хорда окружности. Чтобы соединить две точки окружности, можно провести прямой отрезок между ними или путь через центр, состоящий из двух радиусов. Прямая между точками не длиннее пути с поворотом через центр, а этот путь, если точки расположены на противоположных концах диаметра, равен двум радиусам. Поэтому никакая хорда не превосходит диаметр по длине; равной ему может быть только хорда, которая сама является диаметром.
Радиус, проведённый к середине хорды, помогает увидеть, как хорда делится на две равные части. Если отрезок из центра проходит к середине хорды перпендикулярно ей, то получаются два прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами-радиусами и общей стороной. Такие треугольники равны, значит, их оставшиеся стороны — половины хорды — тоже равны. Это свойство работает именно для перпендикуляра, проведённого из центра.
На рисунке сначала проверь, где находятся концы каждого отрезка. Если оба конца лежат на окружности, перед тобой хорда; затем посмотри, проходит ли она через отмеченный центр. Если проходит, это диаметр, а если нет — обычная хорда. У радиуса только один конец лежит на окружности, а другой совпадает с центром, поэтому он не подходит под определение хорды. Такой порядок проверки помогает не определять отрезки только по внешнему виду.
| Отрезок | Где находятся концы | Проходит ли через центр | Основное свойство |
|---|---|---|---|
| Хорда | Оба конца на окружности | Не обязательно | Соединяет две точки окружности |
| Диаметр | Оба конца на окружности | Да | Самая длинная хорда; d = 2r |
| Радиус | Один конец в центре, другой на окружности | Идёт от центра к окружности | Равен половине диаметра |
Пользуйся таблицей как последовательной проверкой: сначала найди концы отрезка, затем выясни, проходит ли он через центр. Строка диаметра уточняет свойства особой хорды, а строка радиуса помогает не спутать его с хордой. Обозначения d и r означают длины диаметра и радиуса.
Радиус окружности равен 4 см. Найдите диаметр. Из условия известна длина одного отрезка от центра до окружности, а нужно найти отрезок через центр с концами на окружности. В таком отрезке помещаются два радиуса, поэтому воспользуемся формулой d = 2r.
Ответ: 8 см.
На рисунке отмечены отрезки с концами на окружности. Определите, какие из них являются хордами, а какой — диаметром. Для ответа недостаточно заметить, что отрезок нарисован внутри окружности: нужно проверить положение обоих концов. Среди найденных хорд диаметром будет та, которая проходит через центр.
Ответ: хордами являются отрезки с обоими концами на окружности; диаметр — хорда, проходящая через центр. Без самого рисунка нельзя назвать конкретные отрезки по буквам.
Диаметр перпендикулярен хорде и пересекает её на расстоянии 3 см от одного конца. Найдите длину хорды. Диаметр проходит через центр, поэтому в точке пересечения он задаёт перпендикуляр из центра к хорде. Такой перпендикуляр делит хорду пополам, значит, данное расстояние равно половине её длины.
Ответ: 6 см.
Ошибка: называть диаметром любой отрезок через центр. Иногда ученик проверяет только, пересекает ли отрезок центр, и забывает о его концах. Но концы диаметра должны лежать на окружности; иначе это не диаметр. Проверь оба конца и только потом решай, подходит ли отрезок под определение.
Ошибка: считать радиус хордой. Радиус тоже касается окружности, и из-за этого его можно принять за хорду. Однако у радиуса на окружности находится только один конец, а второй — в центре. Сверься с определением: у хорды оба конца должны быть на окружности.
Ошибка: записывать, что диаметр равен одному радиусу. Так бывает, если перепутать название отрезка с его длиной или не учесть обе части диаметра. От центра до каждого конца диаметра проходит радиус, поэтому диаметр складывается из двух радиусов. Для проверки используй равенство d = 2r.
Ошибка: считать, что любой перпендикуляр к хорде делит её пополам. Перпендикуляр может проходить не через центр, и тогда такого вывода сделать нельзя. Хорду пополам делит перпендикуляр, проведённый из центра окружности. Перед применением свойства проверь и прямой угол, и то, что отрезок начинается в центре.
Для работы с хордой, диаметром и радиусом нужно знать, что такое окружность, где находится её центр и что называют отрезком. Если эти понятия знакомы, определения можно сразу применять к чертежам. Свойства хорды и диаметра помогают решать задачи на окружность: находить длины, сравнивать отрезки и определять их положение. Эти знания также пригодятся при геометрических построениях, когда нужно точно провести отрезок через центр или разделить хорду пополам.
Может ли хорда не проходить через центр?
Да. Хордой называется любой отрезок, оба конца которого лежат на окружности. Через центр проходит только особая хорда — диаметр.
Почему каждый диаметр является хордой?
У диаметра оба конца лежат на окружности, а это главный признак хорды. Кроме того, диаметр проходит через центр.
Чем диаметр отличается от радиуса?
Радиус соединяет центр с одной точкой окружности, а диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр. Диаметр в два раза длиннее радиуса.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет. Диаметр — самая длинная хорда окружности. Любая другая хорда короче или, если она сама проходит через центр, является диаметром.
Как найти длину хорды, если известна её половина?
Умножь длину половины на 2. Например, если половина хорды равна 3 см, то вся хорда равна 3 · 2 = 6 см.
§ 1. Диаметр и хорда
