§ 3. Вычитание целых чисел

Определения и обозначения

Вычитание целых чисел — операция нахождения такого числа, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое. Иначе говоря, чтобы найти a − b, нужно подобрать число, которое вместе с b даст a. Это определение связывает вычитание со сложением и помогает проверять ответы.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. В записи a − b число a является уменьшаемым, а b — вычитаемым. Такое различение нужно, потому что порядок чисел при вычитании важен.

Разность целых чисел — результат вычитания двух целых чисел. Например, в выражении 9 − 12 число −3 является разностью. Понимание этого термина помогает правильно называть ответ и отличать его от самих чисел в выражении.

Противоположные числа — два числа, равные по модулю и расположенные по разные стороны от нуля; их сумма равна нулю. Для числа b противоположным является −b, а для −b — число b. Именно противоположное число используется при замене вычитания сложением.

Как это устроено

Связь вычитания со сложением видна из самого определения. Чтобы найти a − b, нужно найти такое число x, для которого b + x = a. Если к обеим частям рассуждения мысленно прибавить противоположное число −b, получится x = a + (−b), поэтому a − b = a + (−b).

Правило a − b = a + (−b) появляется потому, что число b и число −b взаимно уничтожаются при сложении. Например, выражение 10 − 4 означает число, которое вместе с 4 даёт 10; это число можно получить как 10 + (−4). Мы заменяем действие, но сохраняем его смысл, поэтому результат не меняется.

Если вычитается отрицательное число, его противоположным будет положительное число. Поэтому a − (−b) = a + b: два знака «минус» не просто исчезают, а объясняются заменой вычитания на прибавление противоположного. Например, −4 − (−6) превращается в −4 + 6.

На координатной прямой вычитание можно представить движением от уменьшаемого. Вычитание положительного числа ведёт влево, потому что прибавляется отрицательное число, а вычитание отрицательного ведёт вправо, потому что прибавляется положительное. После такой замены знак и модуль результата находят по правилам сложения: при одинаковых знаках модули складывают, а при разных находят их разность и берут знак большего модуля.

Вычитание целых чисел

Сначала определите, какое число вычитается, и замените вычитание сложением противоположного числа. Затем примените правило сложения, не забывая о модулях и знаках. Таблица показывает как саму замену, так и дальнейшее действие.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите: 8 − 13. Здесь вычитается положительное число, поэтому после замены получим сумму чисел с разными знаками.

1. Меняем вычитание на сложение противоположного числа: 8 − 13 = 8 + (−13).
2. Сравниваем модули: 13 больше 8, поэтому находим разность 13 − 8 = 5.
3. Берём знак числа с большим модулем, то есть знак числа −13.

Ответ: 8 − 13 = −5.

Задача 2. Вычислите: −7 − (−12). Вычитается отрицательное число, значит, действие превратится в прибавление положительного.

1. Заменяем вычитание: −7 − (−12) = −7 + 12.
2. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 7 = 5.
3. Больший модуль имеет положительное число 12, значит, результат положительный.

Ответ: −7 − (−12) = 5.

Задача 3. Утром температура была −6 °C, а днём стала 4 °C. Нужно найти изменение температуры и разность утренней и дневной температур; порядок чисел в этих выражениях различается.

1. Изменение температуры считаем как дневная температура минус утренняя: 4 − (−6) = 4 + 6 = 10 °C.
2. Разность утренней и дневной температур записываем в указанном порядке: −6 − 4 = −6 + (−4) = −10 °C.
3. Число 10 показывает повышение на 10 °C, а число −10 — результат именно обратной разности.

Ответ: температура изменилась на 10 °C, а разность утренней и дневной температур равна −10 °C.

Типичные ошибки

Не меняют знак вычитаемого. Ошибка появляется, когда числа складывают механически, не выполняя замену. Запишите противоположное второму числу и проверьте, изменился ли его знак.

Считают, что вычитание отрицательного числа уменьшает результат. На самом деле a − (−b) = a + b, поэтому результат увеличивается на b. Полезно сначала убрать скобки только после записи знака прибавляемого числа.

Складывают модули при разных знаках. В такой ситуации нужно находить разность большего и меньшего модулей, а не их сумму. Проверьте, одинаковы ли знаки после замены, и только затем выбирайте правило.

Путают порядок действий. Выражения a − b и b − a обычно дают разные ответы, потому что вычитание не является переместительным. Прочитайте выражение слева направо и отдельно назовите уменьшаемое и вычитаемое.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны знания о положительных и отрицательных числах, целых числах, модуле, противоположных числах и сложении целых чисел. Вычитание помогает преобразовывать выражения со скобками и решать уравнения. Оно применяется при работе с координатами, изменением температуры, высотами и разностью величин.

Что запомнить

• Вычитание числа равно прибавлению противоположного числа.
• Главное правило: a − b = a + (−b).
• Чтобы вычесть отрицательное число, нужно прибавить положительное.
• После замены вычитания сложением действуют правила сложения целых чисел.
• Порядок чисел при вычитании важен.
• Разность двух целых чисел всегда является целым числом.