"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Вычитание целых чисел помогает находить разность между числами, в том числе положительными, отрицательными и нулём. Главное правило простое: чтобы вычесть число, прибавь противоположное ему. Поэтому любое вычитание можно заменить сложением, а затем применить знакомые правила сложения целых чисел. Это особенно удобно в длинных выражениях и уравнениях. Результат можно проверить обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вычитание целых чисел — действие, обратное сложению, при котором из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Например, если из 9 вычесть 4, получится 5. Вычитание нужно, чтобы узнать, на сколько одно число отличается от другого. Оно также помогает находить неизвестное слагаемое.
Разность целых чисел — результат вычитания; в записи a − b число a является уменьшаемым, а b — вычитаемым. Например, в записи 8 − 3 уменьшаемое равно 8, а вычитаемое — 3. Эти названия показывают, какие числа участвуют в действии. Разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Противоположное число — число, имеющее с данным одинаковый модуль и противоположный знак. Например, числа 6 и −6 противоположны, потому что оба находятся на расстоянии 6 от нуля, но по разные стороны от него. У нуля противоположное число — сам ноль. Это понятие позволяет заменить вычитание сложением.
Правило вычитания целых чисел гласит: чтобы вычесть число, нужно прибавить противоположное ему число, то есть a − b = a + (−b). Например, 10 − 7 превращается в 10 + (−7). После такой замены можно пользоваться правилами сложения целых чисел. Правило работает для положительных чисел, отрицательных чисел и нуля.
Почему вычитание можно заменить сложением противоположного числа? Вычесть число b из a — значит найти такое число, которое при сложении с b даст a. Например, в равенстве 12 − 5 = 7 число 7 удовлетворяет условию 7 + 5 = 12. Чтобы получить то же самое сложением, к 12 нужно прибавить число, которое вместе с 5 даёт ноль, — число −5. Поэтому 12 − 5 = 12 + (−5).
Преобразуя запись a − b в a + (−b), не меняй уменьшаемое. Меняется только знак числа, которое вычитают: оно становится противоположным. Если вычитаемое уже отрицательное, например −4, его противоположное число — 4, поэтому a − (−4) превращается в a + 4. Скобки показывают, что минус перед ними относится ко всему отрицательному вычитаемому.
После замены используй правила сложения целых чисел. Если знаки одинаковые, сложи модули и оставь общий знак: −3 + (−5) = −8. Если знаки разные, вычти меньший модуль из большего и поставь знак числа с большим модулем: 9 + (−4) = 5, а 4 + (−9) = −5. Поэтому порядок действий такой: сначала замена вычитания, затем сложение.
Вычитание положительного числа уменьшает значение, потому что оно равносильно прибавлению отрицательного числа. Например, 2 − 6 = 2 + (−6) = −4: на числовой прямой значение сдвигается влево. При вычитании отрицательного числа прибавляется положительное, поэтому значение увеличивается: 2 − (−6) = 2 + 6 = 8. Именно знак вычитаемого до замены объясняет, в какую сторону меняется результат.
Проверить вычитание можно обратным действием. Если из a вычли b и получили разность c, то c + b должно равняться a. Например, для 3 − 8 = −5 проверка такая: −5 + 8 = 3. Проверка полезна, потому что помогает обнаружить ошибку в знаке или вычислении модулей.
| Вид записи | Замена вычитания сложением | Как выполнить вычисление |
|---|---|---|
| a − b, где b — положительное число | a + (−b) | Прибавь отрицательное число; затем сложи с учётом знаков. |
| a − (−b), где b — положительное число | a + b | Прибавь положительное число; затем сложи с учётом знаков. |
| a − 0 | a + 0 | Ноль не изменяет число, поэтому результат равен a. |
| 0 − b | 0 + (−b) | Результат — число, противоположное b. |
| Вычитание отрицательного числа | a − (−b) = a + b | Замени отрицательное вычитаемое положительным слагаемым. |
Сначала найди в записи вычитаемое и замени его противоположным числом, сохранив уменьшаемое. Затем выбери способ сложения по знакам получившихся слагаемых. Таблица показывает и особые случаи: вычитание нуля и вычитание числа из нуля.
Здесь из положительного числа вычитают большее положительное число, поэтому результат будет отрицательным. Чтобы не угадывать знак, заменим вычитание сложением противоположного числа. Затем сравним модули слагаемых и применим правило сложения чисел с разными знаками.
Получилось −5. Проверим ответ: к разности прибавим вычитаемое, −5 + 12 = 7. Значит, вычисление выполнено правильно.
Вычитаемое здесь отрицательное, поэтому при замене вычитания оно станет положительным. Скобки важны: они показывают, что вычитают именно число −9. После преобразования останется сложить числа с разными знаками и определить знак по большему модулю.
Ответ: 4. Проверка подтверждает результат: 4 + (−9) = −5, то есть получилось исходное уменьшаемое. Если бы знак у вычитаемого не поменяли, вычисление было бы неверным.
В длинном выражении легко потерять знак, поэтому сначала заменим каждое вычитание сложением противоположного числа. Минус перед числом 6 превращает его в −6, а вычитание числа −4 превращается в прибавление 4. После этого можно сгруппировать отрицательные и положительные слагаемые.
Ответ: −7. Мы получили отрицательное число, потому что сумма модулей отрицательных слагаемых больше суммы положительных. Проверка исходного выражения по действиям даёт тот же результат: −8 − 6 = −14, −14 − (−4) = −10, −10 + 3 = −7.
Ошибка: меняют знак у уменьшаемого вместо вычитаемого. Это случается, когда правило запоминают неточно и воспринимают минус как команду изменить первое число. На самом деле при переходе от a − b к a + (−b) число a остаётся прежним, а меняется только b. Проверь себя, подписав уменьшаемое и вычитаемое до преобразования.
Ошибка: считают, что вычитание отрицательного числа уменьшает результат. Минус перед отрицательным числом означает, что нужно прибавить противоположное ему положительное число: a − (−b) = a + b. Ошибку допускают, если не учитывают знак самого вычитаемого. Проверь преобразование на примере: 2 − (−3) = 2 + 3 = 5.
Ошибка: при сложении чисел с разными знаками складывают модули. Так делать нельзя, потому что слагаемые направлены в противоположные стороны и частично компенсируют друг друга. Нужно вычесть меньший модуль из большего, а знак взять у числа с большим модулем. Для проверки сравни ответ с этим правилом на примере 8 + (−3) = 5.
Ошибка: теряют скобки в записи вроде 6 − (−3) и получают неверный знак второго числа. Обычно это происходит, если две соседние черты читают невнимательно. Сначала воспринимай −3 как целое вычитаемое, а затем меняй его знак: 6 − (−3) = 6 + 3. Проверь, что после замены вычитания сложением знак изменился только у вычитаемого.
Для вычитания нужны знания о положительных и отрицательных числах, противоположных числах, модуле и сложении целых чисел. На координатной прямой вычитание можно представить как перемещение в направлении, противоположном знаку вычитаемого: это помогает понять, почему результат меняется. Правило пригодится при раскрытии скобок, вычислении числовых и буквенных выражений и решении уравнений. В этих темах преобразование вычитания в сложение делает вычисления единообразными.
Почему при вычитании меняется знак именно у вычитаемого?
Вычитаемое — это число, которое убирают из уменьшаемого. Чтобы заменить вычитание сложением, к уменьшаемому прибавляют число, противоположное вычитаемому: a − b = a + (−b). Уменьшаемое при этом не меняется.
Чем отличается вычитание отрицательного числа от вычитания положительного?
Вычитание положительного числа равносильно прибавлению отрицательного, поэтому значение уменьшается. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного: a − (−b) = a + b. Поэтому значение увеличивается.
Нужно ли ставить скобки вокруг отрицательного вычитаемого?
Да, скобки помогают увидеть, что вычитается именно отрицательное число: например, 6 − (−3). После замены вычитания сложением запись станет 6 + 3. Без скобок знаки легко перепутать.
Как определить знак результата при вычитании чисел с разными знаками?
Сначала замени вычитание сложением противоположного числа. Если получились слагаемые с разными знаками, вычти меньший модуль из большего. Знак результата будет таким же, как у числа с большим модулем.
Как проверить правильность выполненного вычитания?
К полученной разности прибавь вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычисление верное: (a − b) + b = a. Например, для 7 − 12 = −5 проверка выглядит так: −5 + 12 = 7.
9.4. Вычитание целых чисел
