"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Сложение целых чисел позволяет работать не только с натуральными числами, но и с нулём и отрицательными числами. Для вычислений важно определить знаки слагаемых и сравнить их модули — расстояния до нуля. При одинаковых знаках модули складывают и сохраняют общий знак, а при разных знаках вычитают меньший модуль из большего. Сумма получает знак числа с большим модулем, а противоположные числа в сумме дают ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и ноль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Натуральные числа обычно считают предметы и начинаются с 1, а целые включают ещё отрицательные числа и ноль. Это расширение нужно, чтобы описывать, например, температуру ниже нуля или долг.
Модуль целого числа — расстояние от точки, соответствующей числу, до нуля на числовой прямой. Его обозначают вертикальными чертами: |−5| = 5 и |5| = 5. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен.
Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки: 7 и −7, 12 и −12. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Поэтому их сумма равна нулю: 7 + (−7) = 0.
Сложение целых чисел — действие, при котором из нескольких целых чисел получают их сумму. Правило вычисления зависит от знаков слагаемых: одинаковые знаки требуют сложения модулей, а разные — вычитания. Эти правила помогают выполнить действие без ошибок и понять результат.
Сложение удобно представлять на числовой прямой. Сначала отмечают первое слагаемое, затем от этой точки перемещаются на расстояние, равное модулю второго слагаемого. Положительное слагаемое задаёт движение вправо, а отрицательное — влево, потому что положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные — слева.
Если знаки слагаемых одинаковые, движения направлены в одну сторону. Например, при −4 + (−3) нужно пройти влево сначала на 4 единицы, затем ещё на 3, поэтому общее расстояние равно 4 + 3 = 7. Получается −7: модули сложили, а общий отрицательный знак сохранили.
При разных знаках движения направлены в противоположные стороны. Часть пути, пройденная вправо, как бы отменяет такую же часть пути, пройденную влево, поэтому складывать модули нельзя. Из большего модуля вычитают меньший, а знак результата берут у числа с большим модулем.
Противоположные числа полностью уничтожают перемещения друг друга. Например, после движения на 6 единиц влево и на 6 единиц вправо точка возвращается к нулю. Поэтому −6 + 6 = 0, а не положительное и не отрицательное число.
Если модули слагаемых с разными знаками равны, разность модулей равна нулю. В таком случае ни одно направление не оказывается сильнее другого: например, |−9| − |9| = 9 − 9 = 0. Значит, сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
Найдите строку по знакам слагаемых, затем выполните действие с модулями и выберите знак суммы. В последней строке знак не нужен, потому что результат равен нулю.
Скобки около отрицательного слагаемого помогают ясно увидеть его знак: 9 + (−4). При сложении нескольких чисел можно выполнять действия последовательно или объединять противоположные слагаемые.
| Знаки слагаемых | Что сделать с модулями | Знак суммы | Пример |
|---|---|---|---|
| Одинаковые знаки | Сложить модули | Общий знак слагаемых | −6 + (−3) = −9 |
| Разные знаки, модули не равны | Из большего модуля вычесть меньший | Знак числа с большим модулем | 9 + (−4) = 5 |
| Разные знаки, модули равны | Вычесть равные модули | Знака нет, сумма равна 0 | −8 + 8 = 0 |
Оба слагаемых отрицательные, значит, у них одинаковые знаки. Их модули равны 6 и 3, поэтому нужно сложить именно эти расстояния до нуля. После этого сохраняем общий отрицательный знак.
Ответ: −6 + (−3) = −9. На числовой прямой это означает движение влево на 6 единиц, затем ещё на 3.
Слагаемые имеют разные знаки, поэтому их модули не складываем. Движение на 4 единицы влево частично отменяет движение на 9 единиц вправо. Справа остаётся путь длиной 5 единиц, поэтому сумма положительна.
Ответ: 9 + (−4) = 5. Проверка на прямой: от 9 двигаемся влево на 4 и попадаем в точку 5.
Здесь три слагаемых, поэтому можно считать по порядку или заметить удобную пару. Числа −12 и 7 сначала дают −5, а затем прибавление 5 возвращает к нулю. Ещё быстрее увидеть, что 7 и 5 вместе составляют 12, противоположное числу −12.
Ответ: −12 + 7 + 5 = 0. При последовательном счёте получится тот же результат: −12 + 7 = −5, затем −5 + 5 = 0.
Складывают модули, но забывают общий знак. Например, в выражении −4 + (−2) ошибочно получают 6. Нужно проверить знаки слагаемых: если оба отрицательные, ответ должен быть отрицательным.
При разных знаках складывают модули. В примере 8 + (−3) нельзя делать 8 + 3, потому что движения направлены в разные стороны. Сравните направления и вычтите меньший модуль из большего.
Знак выбирают по положительному слагаемому. Это неверно для −10 + 4: большим является модуль 10, поэтому сумма отрицательна. Сначала сравнивайте модули, а уже потом выбирайте знак.
Противоположную сумму считают положительной или отрицательной. Равные расстояния в разные стороны полностью сокращаются, поэтому −7 + 7 = 0. Проверка на прямой сразу показывает возвращение в начало отсчёта.
До сложения целых чисел нужно уметь сравнивать их и находить модуль по числовой прямой. Сравнение помогает понять, какой модуль больше, а значит, какой знак получит сумма при разных знаках слагаемых.
Правила сложения понадобятся при изучении вычитания целых чисел: вычитание можно заменить сложением с противоположным числом. Эти умения также используются при действиях с рациональными числами, среди которых есть дроби и отрицательные значения.
Почему при сложении двух отрицательных чисел модули складывают?
Каждое отрицательное число задаёт движение влево по числовой прямой. Поэтому два таких движения складываются по длине, а направление остаётся левым: например, −3 + (−2) = −5.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Сначала сравните модули слагаемых. Сумма получает знак того числа, чей модуль больше.
Что делать, если модули слагаемых равны?
Если знаки разные, вычтите равные модули: получится 0. Например, −8 + 8 = 0.
Может ли сумма двух целых чисел быть нулём?
Да, если слагаемые противоположны: имеют равные модули и разные знаки. Также ноль получается при сложении 0 и 0.
Как проверить сложение целых чисел на числовой прямой?
Отметьте первое слагаемое, затем двигайтесь вправо на величину положительного второго слагаемого или влево на величину отрицательного. Точка остановки должна соответствовать полученной сумме.
9.3. Сложение целых чисел
