"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Целые числа — это положительные и отрицательные числа, а также ноль. Их сложение помогает описывать изменения температуры, высоты и другие ситуации, где значения могут быть больше или меньше нуля. Главное — учитывать знаки слагаемых и сравнивать их модули. При одинаковых знаках модули складывают, при разных — вычитают меньший из большего, а знак результата выбирают по слагаемому с большим модулем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и ноль. Например, −3, 0 и 8 — целые числа. Они нужны, чтобы записывать значения по разные стороны от нуля: например, температуру ниже и выше нуля.
Противоположные числа — это числа с одинаковыми модулями и разными знаками. Например, числа 6 и −6 противоположны, потому что оба отстоят от нуля на 6 единиц. Их сумма равна нулю, поэтому противоположные числа удобно искать и объединять при вычислениях.
Сумма целых чисел — результат сложения целых чисел. Например, −4 + 7 = 3, и число 3 тоже целое. Это свойство позволяет выполнять сложение и не выходить за пределы множества целых чисел.
Модуль числа показывает расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Его обозначают вертикальными чертами: |−5| = 5 и |5| = 5. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда равен нулю или положителен; он помогает сравнить, какое слагаемое сильнее влияет на сумму.
Сложение можно представить как перемещение по координатной прямой. Сначала отметь точку, соответствующую первому слагаемому, а затем двигайся на столько единиц, сколько показывает модуль второго. Положительное слагаемое задаёт движение вправо, отрицательное — влево, потому что положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные — слева. Точка, в которой ты окажешься, и будет суммой.
Если слагаемые имеют одинаковые знаки, их перемещения направлены в одну сторону. Поэтому расстояния складываются: например, два движения влево становятся длиннее, но направление не меняется. Так получают правило: сложить модули слагаемых и поставить общий знак. Для чисел −3 и −2 результатом будет −5, а для 3 и 2 — 5.
При разных знаках перемещения направлены в противоположные стороны. Одно из них частично перекрывает другое, поэтому остаётся разность расстояний: из большего модуля вычитают меньший. Направление оставшегося движения совпадает с направлением слагаемого с большим модулем, значит, его знак и будет знаком суммы. Так, в выражении −9 + 4 модуль 9 больше, поэтому результат отрицательный.
Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. На прямой одно слагаемое задаёт движение вправо, а другое — такое же по длине движение влево. После этих перемещений мы возвращаемся в исходную точку, поэтому их сумма равна нулю. Это частный случай правила сложения чисел с разными знаками, когда разность модулей равна нулю.
Ноль не задаёт перемещения ни вправо, ни влево. Поэтому, если к числу прибавить ноль, точка останется на месте, а само число не изменится. Если оба слагаемых равны нулю, перемещения также нет и сумма равна нулю. Эти случаи можно проверять прямо по смыслу сложения, не сравнивая модули.
| Случай | Действие с модулями | Знак результата | Пример |
|---|---|---|---|
| Слагаемые имеют одинаковые знаки | Сложить модули | Общий знак слагаемых | −3 + (−2) = −5 |
| Слагаемые имеют разные знаки и разные модули | Из большего модуля вычесть меньший | Знак слагаемого с большим модулем | 8 + (−5) = 3 |
| Слагаемые противоположны | Вычесть равные модули | Сумма равна нулю | 7 + (−7) = 0 |
| Одно из слагаемых равно нулю | Второй модуль не меняется | Знак и значение ненулевого слагаемого | −4 + 0 = −4 |
Сначала определи знаки слагаемых, затем выбери подходящую строку таблицы. Если знаки разные, сравни именно модули, а не сами числа. После вычисления проверь, соответствует ли знак результата правилу.
Вычислим −7 + (−5). Слагаемые отрицательные, то есть оба задают движение влево; поэтому общий путь становится длиннее. Нужно сложить модули, а знак оставить отрицательным. Такой порядок действий помогает не перепутать сложение отрицательных чисел с вычитанием.
Ответ: −12.
Теперь вычислим 12 + (−8). Слагаемые имеют разные знаки, поэтому их движения частично компенсируются. Модуль положительного слагаемого больше: после движения на 8 единиц влево остаётся ещё 4 единицы вправо. Значит, сумма будет положительной.
Ответ: 4.
В выражении −9 + 4 + 9 + (−6) есть противоположные слагаемые −9 и 9. Их сумма равна нулю, и благодаря этому можно упростить вычисление. После их удаления останутся только 4 и −6; у них разные знаки, а больший модуль принадлежит отрицательному числу. Значит, итог будет отрицательным.
Ответ: −2.
При сложении двух отрицательных чисел иногда вычитают модули, потому что видят знак минус и связывают его с вычитанием. Но оба перемещения направлены влево, поэтому их длины нужно сложить, а результат оставить отрицательным. Проверь себя: модуль суммы должен быть больше модуля каждого из двух отрицательных слагаемых, если оба они не равны нулю.
При разных знаках могут сложить модули, забыв, что перемещения направлены в разные стороны. В этом случае часть пути компенсируется, поэтому нужно вычесть меньший модуль из большего. Для проверки сравни результат с большим модулем: разность должна быть меньше него.
Ещё одна ошибка — выбирать знак по слагаемому с большим числом, не учитывая знак минус. Например, число −10 меньше числа 3, но его модуль больше. Сравни сначала модули, а затем посмотри на знак слагаемого, которому принадлежит больший модуль; этот знак и будет знаком суммы.
Иногда сумму противоположных чисел записывают как положительное или отрицательное число, хотя их модули равны. Их перемещения полностью компенсируются, поэтому результат всегда ноль. Проверь, равны ли модули и различаются ли знаки: если да, знак результата выбирать не нужно.
Чтобы уверенно складывать целые числа, нужно уметь сравнивать их и находить модуль. Также пригодятся действия с положительными числами: сложение и вычитание модулей выполняются по уже знакомым правилам. Сравнение модулей помогает определить не только величину, но и знак суммы чисел с разными знаками.
Сложение целых чисел становится основой для вычитания целых чисел: вычитание можно будет заменить сложением противоположного числа. Эти правила пригодятся и при раскрытии скобок, и при вычислении значений выражений. Чем точнее ты определяешь знаки и модули слагаемых, тем меньше ошибок в длинных примерах.
Почему при сложении двух отрицательных чисел результат отрицательный?
На координатной прямой оба отрицательных слагаемых задают движение влево. Эти перемещения складываются, поэтому итоговая точка остаётся левее нуля. Значит, сумма отрицательна.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Сравни модули слагаемых и найди их разность: из большего модуля вычти меньший. Знак результата будет таким же, как знак числа с большим модулем.
Что делать, если модули слагаемых равны, а знаки разные?
Такие числа противоположны. Их перемещения по координатной прямой полностью компенсируют друг друга, поэтому сумма равна нулю.
Меняется ли число, если к нему прибавить ноль?
Нет, прибавление нуля не меняет число. Например, −6 + 0 = −6.
Можно ли складывать целые числа на координатной прямой?
Да. Отметь первое слагаемое как начальную точку, а затем передвинься на число единиц, равное модулю второго слагаемого. При положительном втором слагаемом двигайся вправо, при отрицательном — влево.
6.4. Сложение целых чисел
