"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Целые числа — это положительные и отрицательные числа вместе с нулём. Их сложение помогает находить общий результат, когда величины направлены в одну или разные стороны: например, учитывать изменения температуры или перемещения по прямой. При одинаковых знаках складывают модули, а при разных — вычитают меньший модуль из большего. Знак результата зависит от знаков слагаемых и их модулей; противоположные числа в сумме дают ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и ноль. На числовой прямой положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Например, числа −3, 0 и 5 целые, а ½ — не целое число. Такое расположение помогает видеть, какое число больше и в какую сторону нужно двигаться при сложении.
Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки. Например, 4 и −4 противоположны: они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Ноль противоположен самому себе, потому что у него нет ни положительного, ни отрицательного знака. Понятие противоположных чисел помогает быстро находить слагаемые, сумма которых равна нулю.
Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число, до нуля на числовой прямой. Модуль не может быть отрицательным: например, |−6| = 6 и |6| = 6. Знак числа показывает направление от нуля, а модуль — длину этого пути. Модули нужны, чтобы определить, насколько велики слагаемые, и выбрать правило сложения.
Сумма целых чисел — результат их сложения; числа, которые складывают, называются слагаемыми. Например, в записи −2 + 7 число −2 и число 7 — слагаемые, а 5 — их сумма. Знак результата зависит от знаков слагаемых и, если они разные, от их модулей. Это позволяет не только вычислять сумму, но и заранее понимать, в какую сторону от нуля она будет расположена.
Сложение можно представить как движение по числовой прямой. Начни с точки, соответствующей первому слагаемому: если прибавляешь положительное число, двигайся вправо, а если отрицательное — влево. Например, для 2 + (−5) начни в точке 2 и пройди пять единиц влево. Окажешься в точке −3, поэтому 2 + (−5) = −3.
Если оба слагаемых имеют одинаковый знак, их движения направлены в одну сторону. Длины этих движений складываются, поэтому нужно сложить модули, а полученное число оставить с общим знаком слагаемых. Например, при −3 + (−5) путь равен 3 + 5 = 8 единицам влево, значит, сумма равна −8. Для двух положительных слагаемых путь такой же, но направлен вправо.
При разных знаках слагаемые задают движения в противоположные стороны. Сначала более короткое движение как бы компенсирует часть длинного, поэтому из большего модуля вычитают меньший. Направление оставшегося пути совпадает с направлением более длинного движения, а значит, сумма получает знак слагаемого с большим модулем. Например, −10 + 6 = −4: шесть шагов вправо сокращают часть десяти шагов влево.
Если у слагаемых разные знаки, но равные модули, движения полностью компенсируются. На числовой прямой, пройдя, например, пять единиц влево и пять вправо, вернёшься в исходную точку. Поэтому сумма противоположных чисел равна нулю: 5 + (−5) = 0. Это правило работает и при любом другом одинаковом модуле.
Несколько целых чисел можно складывать последовательно или сначала удобно сгруппировать. Перестановка и объединение слагаемых не меняют сумму, поэтому можно поставить рядом числа, которые дают ноль. Например, в выражении −12 + 5 + 12 − 8 слагаемые −12 и 12 взаимно компенсируются. Остаётся вычислить 5 − 8, что проще, чем складывать все числа подряд.
| Случай | Что сделать с модулями | Знак суммы | Пример |
|---|---|---|---|
| Оба слагаемых положительные | Сложить | Положительный | 4 + 3 = 7 |
| Оба слагаемых отрицательные | Сложить | Отрицательный | −4 + (−3) = −7 |
| Слагаемые имеют разные знаки и равные модули | Вычесть: модули равны, разность равна нулю | Сумма равна нулю | −4 + 4 = 0 |
| Слагаемые имеют разные знаки и разные модули | Из большего вычесть меньший | Знак числа с большим модулем | −7 + 4 = −3 |
Сначала определи знаки слагаемых и сравни их модули, а затем выбери подходящую строку таблицы. Если знаки одинаковы, знак суммы уже известен; если разные, обрати особое внимание на больший модуль. Подставь числа из примера в то же правило и проверь, что знак результата выбран верно.
Оба слагаемых положительные, поэтому на числовой прямой нужно двигаться вправо и продолжать движение в том же направлении. Значит, складываем модули 8 и 5. Результат будет положительным, поскольку оба слагаемых положительны.
Полученное число больше каждого из слагаемых, что соответствует движению вправо на 13 единиц от нуля. При сложении двух положительных чисел уменьшение результата невозможно, потому что оба слагаемых добавляют величину в одном направлении. Ответ: 13.
Оба слагаемых отрицательные, поэтому движение по числовой прямой в обоих случаях направлено влево. Эти перемещения не компенсируют, а продолжают друг друга. Поэтому складываем расстояния от нуля и ставим перед результатом минус.
Можно проверить ответ движением: от нуля сначала пройти семь единиц влево, затем ещё четыре влево. Конечная точка будет на расстоянии 11 единиц слева от нуля. Ответ: −11.
Здесь четыре слагаемых, и вычислять их строго слева направо необязательно. Удобно сначала найти противоположные числа −12 и 12: их сумма равна нулю. После их объединения останется сложить 5 и −8, то есть числа с разными знаками.
Для проверки сравним модули оставшихся чисел: 8 больше 5, поэтому ответ должен быть отрицательным. Разность модулей равна 8 − 5 = 3, значит, результат −3 согласуется с правилом. Ответ: −3.
При сложении двух отрицательных чисел иногда вычитают модули, например получают −2 для −7 + (−5). Так происходит, когда правило сложения путают с правилом для разных знаков. На прямой оба движения идут влево, значит, они удлиняют общий путь: нужно сложить модули и получить −12.
Для чисел с разными знаками могут ошибочно сложить модули. Причина в том, что запоминают действие «сложить» из названия операции, но не учитывают противоположные направления. Проверь себя на примере 9 + (−4): четыре шага влево сокращают девять шагов вправо, поэтому надо вычислить 9 − 4, а не 9 + 4.
При разных знаках знак суммы иногда выбирают по первому записанному числу или по слагаемому с меньшим модулем. Но решает не порядок записи, а то, какое направленное перемещение сильнее. Сравни модули: например, в −3 + 8 больший модуль у 8, поэтому сумма положительна и равна 5.
Если модули равны, а знаки разные, ошибочно оставлять у результата плюс или минус. Так случается, когда правило о знаке суммы применяют, не проверив, есть ли остаток после компенсации. Сложи такие слагаемые: например, 6 + (−6) = 0, потому что движения полностью взаимно уничтожаются.
Для сложения полезно уметь сравнивать целые числа, находить их модули и изображать числа на координатной прямой. Сравнение модулей помогает выбрать знак суммы, а числовая прямая показывает направление и длину движения. Эти знания связывают правила вычислений с наглядным представлением чисел.
Сложение целых чисел понадобится при вычитании отрицательных чисел, работе с координатами и решении уравнений. Например, при движении по координатной прямой изменение координаты можно записать как прибавление положительного или отрицательного числа. Уверенное сложение помогает выполнять такие действия без ошибок и проверять полученный результат.
Почему при сложении двух отрицательных чисел модули складывают?
На числовой прямой оба движения направлены влево, поэтому общий путь влево становится длиннее. Например, −3 + (−4) = −7: складываем расстояния 3 и 4, а результат оставляем отрицательным.
Как быстро определить знак суммы чисел с разными знаками?
Сравни модули слагаемых. Сумма получает знак того числа, у которого модуль больше, потому что его направленное движение сильнее.
Что делать, если модули слагаемых равны, а знаки разные?
Такие числа противоположны, поэтому их сумма равна нулю. Например, −9 + 9 = 0.
Может ли сумма двух целых чисел быть нецелым числом?
Нет, сумма двух целых чисел всегда целая. При сложении мы получаем целое число на числовой прямой.
Как упростить сумму, в которой есть противоположные слагаемые?
Найди числа с одинаковыми модулями и разными знаками и объедини их: каждую такую пару можно заменить нулём. Затем сложи оставшиеся слагаемые.
§ 1. Сложение целых чисел
